复杂度是 O(kM(n)) 多项式复杂度吗？

Question

定义：

O(kM(n)) : - modular exponentiation的计算复杂度

其中 k 是指数位数，n 是位数，M(n) 是 @987654322 的计算复杂度@。

我如何确定这个计算复杂度是多项式复杂度？

事实上，M(n) 是最让我困惑的符号。

Answer 1

想想除法算法。

• 除法算法的复杂度是O(n)吗？如果是这样，那么模幂运算就是 O(k n)。

• 对于某个常数 c，除法算法是否具有 O(n^c) 复杂度？如果是这样，那么模幂运算就是 O(k n^c)。

• 除法算法的复杂度是否为 O(log n)？如果是这样，那么模幂运算就是 O(k log n)。

等等

Answer 2

模幂运算的复杂度在指数的长度和模的长度上是多项式的，即使是常规的长除法，所以它也是多项式的，具有更快的除法算法。 M(n) 是将两个 n 位数/位数相乘的复杂度 (see here)。