我想在一个正方形内生成 N 个点（均匀地）。 我怎样才能做到这一点？
【问题讨论】：
非常酷的问题，比我想象的要困难得多，但这就是我的想法。有关于n-gons的论文，但我只会做正方形。因此，圆的均匀分布是一个常见问题，您不能仅对半径r 和角度theta 进行独立采样，因为更大的半径赋予了更大的权重，即如果我们采用无限小环，你有更多的面积来自远离中心的更大半径，所以我们从r^2均匀采样，因为面积是r^2的函数。
现在这个想法与矩形相似，它的对称性有助于通过某种旋转（角度）和与原点的距离（半径）来捕捉它，但请注意，当你围绕一个圆旋转时，半径会发生巨大变化，去向上然后向下然后向上然后向下。我们需要一种基于角度来规定半径的方法，这样它在任何给定点的质量都是均匀的。
考虑以下结构（我们可以调整正方形的方向，使其位于其一侧，但这更直观）抱歉，我的图表画得很糟糕
A
X
B O C
D
这是我们的正方形，A,B,C,D 是角，O 是原点。我们稍后会解释 X。让我们从点 C 开始逆时针旋转，角度将表示为 Theta。如果我们从 O 以角度 Theta 画一条线，X 就是与正方形边缘的交点。换句话说，X = r(Theta)。我们试图做的是捕获距离 r 作为 theta 的函数，以使其成为 Theta 的均匀概率分布。这就是整个想法..
我们可以用正弦定理写出以下内容
Sin(pi - Theta - pi/4)/c = sin(pi/4)/r(Theta) where C sits at (c,0)
做一些代数并到达
r(Theta) = sqrt(2)*c / (2sin(3pi/4 - Theta)
现在我们需要一个常数 k，这样积分 k*r(Theta) 就会得到 1，这很容易做到。
我明白了
a*sin(pi/4)ln|tan((Theta+pi/4)/2)| evaluated from 0 to pi/4
您已成功构建 p.d.f。 （概率分布函数）为您的 r（Theta），现在计算 c.d.f。 （累积分布函数），将其设置为统一并为您的 Theta 获取封闭形式的表达式。
到目前为止，我们已经构建了随机 Theta，以构建半径 r，意识到很像一个圆，我们在更远的地方有更多的质量，我们可以将它构建为
R = r(Theta)/s 其中 s 是从 0 到 1 的统一值。
我们使用r(Theta)，因为它是给定 Theta 的最大可能值。
【讨论】：