动态规划：设计一个 O(n log n) 时间的算法答案

【问题标题】：Dynamic programming: design an algorithm that is in O(n log n) time动态规划：设计一个 O(n log n) 时间的算法
【发布时间】：2015-06-23 07:29:02
【问题描述】：

请考虑以下问题：

会议上有n 的演示文稿，每个演示文稿都有开始时间和结束时间。你不能参加所有这些，因为其中一些重叠。每个演示文稿都有与您参加的愿望相对应的值。

在O(n log n)时间，使用动态规划算法找到一组具有最大总价值的演示文稿，使得它们的时间都不重叠。

我的想法：

通过使用动态编程，我们将检查每个演示文稿，存储其开始时间、结束时间、值，一次一个（并比较是否与之前存储的数据重叠）。但是，如何在O(n log n) 时间内做到这一点？

【问题讨论】：

标签： algorithm big-o dynamic-programming mergesort

【解决方案1】：

按结束时间排序间隔（这是O(nlogn)），然后应用遵循递归公式的DP解决方案：

Let start[1,...,n] be an array containing start times
Let end[1,....,n] be an array containing end times
Let values[1,...,n] be an array containing values of each presentations
Assume arrays are already sorted, such that the `i`th element in all arrays refer to the same presentation, and the array end is in ascending order.


    D(0) = 0
    D(i) = max { D(i-1), D(j) + values[i] } where j is the highest index such that end[j] <= end[i]

在上面的递归公式中：

通过二分搜索很容易找到j 的所需值（因为end 已排序）。
递归函数的参数i 是当前的“候选”表示。
一般的想法是 - 你要么参加这个会议（然后不能去任何其他重叠的会议，因此递归到D(j)） - 或者你不参加，然后继续下一个候选人。
可能的最大值由D(n) 表示。
在 DP 解决方案之后，通过追溯您的选择来查找您参加的实际演示文稿 - 如果您决定在 max{} 函数中转到 D(j)+values[i] - 添加 i，否则 - 您不需要参加。

【讨论】：

请您解释一下如何按结束时间对间隔进行排序是 O(nlogn) 吗？
@JamestheGreat 这是一个常规排序，例如使用快速排序或合并排序在 O(nlogn) 中完成。

【解决方案2】：

这可以在 O(nlgn) 时间内完成：

构造一个开始时间数组并对其进行排序。每个开始时间的结束时间和相应值可以使用哈希表、具有相同表示值的相同索引的单独数组来维护，或者可以将它们扩充到开始时间数组。此操作需要 O(nlgn) 时间。
使用 DP。现在我们构造一个长度为 n 的数组，比如数组，它的第 i 个元素存储索引 i 到 n 的演示文稿的最佳值，就像演示文稿的排序起始数组一样。（1-indexed）将所有数组元素初始化为 0。O(n) 时间.
将数组[n] 分配给值[n]，即开始时间数组中第n 个表示的值。 O(1)
使用二分搜索在 start_time 数组中找到 end_time[n-1] 位置，即哪个开始时间索引刚好大于这个结束时间，让这个索引为 k。那么
```
Array[n-1] =max(value[n-1] + Array[k], Array[n])
```
步骤 4 的 O(lg(n)) 时间。
对 Array[n-1] 重复步骤 3 和 4 以获得 Array[0]，这是可以达到的最佳值。 O(nlgn) 时间。

【讨论】：