The Dancing Links Algorithm - 解释性较少但更多关于实施的解释？

Question

我一直在研究数独求解器，我当前的求解器使用回溯算法，但仍然需要很长时间。

我希望在大多数情况下将其缩短到不到一秒。因此，我决定用跳舞链接算法重写它，因为它是更好的蛮力方法之一，尤其适用于数独难题等约束问题。

我尝试阅读 Wiki 和上面的 Knuth's paper，但是它们都有点难以理解并且非常冗长。

我也读过Supedia的版本，似乎一旦到了数独的实现，它就变得太抽象了。

有人可以尝试解释 Dancing Links 算法，而不是从它的推导而是它的实现？ （以数独为例就好了）

谢谢！

Answer 1

您可能对my implementation in javascript 感兴趣。

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首先您必须了解 Exact Cover。一个精确的覆盖问题是一个问题，你有一堆选择，一组约束，你的挑战是选择一堆选项，这些选项将恰好满足每个约束一次。

例如，考虑某人创建他们的冰舞套路的情况。他们有许多技巧需要向评委展示，并且不想多次表演任何技巧。他们有许多序列，这些序列是可以组合在一起的技巧组，他们希望选择理想的序列选择来一次性涵盖所有技巧。在这个例子中，约束是他们必须执行每一个技巧。选择是他们可以纳入日常活动的可能顺序。

表示此类问题的一个好方法是绘制一个表格，其中约束是列，选择是行，并且在单元格中有一个大 X，其中特定选择满足该约束。

事实证明，给定正确的约束和选择，数独可以描述为精确覆盖问题。

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好吧，假设你已经明白了，现在你需要了解算法 X。Knuth 说：“算法 X 只是对明显的试错方法的陈述。（事实上，我想不出一般而言，任何其他合理的方式来完成这项工作。）”。所以这是我对算法 X 的描述：

1. 如果您的表格没有列，请停止 - 您已经解决了。如果您存储了部分解决方案，那么它实际上是一个真正的解决方案，请将其退回。
2. 选择一列（代表一个约束）。
3. 在该列中查找带有叉号的行（表示满足该约束的选择）。将其添加到存储潜在解决方案的某种结构中。如果找不到行，请放弃 - 没有解决方案。
4. 假设您在 3 中找到的行在解决方案中，因此删除该行中包含 X 的所有列。在删除所有这些列的同时，还要删除在要删除的列中包含 X 的所有行（因为您已经满足了约束，因此您无法选择再次满足它的内容）。
5. 现在递归地尝试求解简化表。如果不能，请从潜在解决方案结构中删除您尝试过的行，恢复您在第 3 步和第 4 步中删除的所有行和列，然后尝试不同的行。如果行数用完了，那就放弃吧 - 没有解决办法。

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既然你明白了，你就可以理解跳舞的链接了。 Dancing Links 是一种有效实现该算法的方法。跳舞链接的关键在于，在链表中，当您删除一个节点时（可以通过修改其邻居的指针来有效地完成），您删除的节点具有您需要将其添加回来的所有信息到链表（如果你猜到它是解决方案的一部分时你错了）。再加上如果你把所有的链表都变成循环的，那么你会突然失去很多特殊情况，这几乎就是所有的跳舞链接。

Answer 2

虽然这个问题很老了，但我想我会补充一下：

这个页面让算法很容易理解：Zendoku writeup。在我在那个链接上读到它之前，我一直认为这一定是一个超级高级的算法，但实际上一旦你可以将它可视化，它就是一个非常巧妙但简单的解决方案。

另外，C# 中的my implementation 应该相当容易阅读......我敢肯定，将各种类拆分为不同的文件会很有帮助。
它主要是来自 Knuth 的 pdf 的直接实现，但有一些面向对象的优化（实际上自从几个月前我这样做以来，我不太记得我偏离了 pdf 多少）