嵌套循环的时间复杂度

Question

为什么是时间复杂度

function (n)
{
    //this loop executes n times

    for( i = 1 ; i <= n ; i + + )
    //this loop executes j times with j increase by the rate of i
    for( j = 1 ; j <= n ; j+ = i )
    print( “*” ) ;

}

它的运行时间是n*(n^1/2)=n^3/2

所以，O(n^3/2)

请用数学步骤解释。

提前谢谢你。

Answer 1

运行时间以O(n^{3/2}) 为界，但这并不紧迫！

请注意，内部循环为每个i=1,2,...n 进行O(n/i) 迭代），因此时间复杂度为O(n * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)) = O(n log n)。

这是因为1+1/2+1/3+...+1/n=O(log n) 是众所周知的harmonic series。