嵌套while循环的时间复杂度答案

【问题标题】：Time complexity of nested while loop嵌套while循环的时间复杂度
【发布时间】：2017-02-27 08:08:40
【问题描述】：

我不知道如何在这个语句中确定 while 循环的时间复杂度：

procedure P (integer n);
 for (i: 1 to n)
   x := n;
   while (x > 0)
         x := x - i;

我知道 for 循环运行 (n-1) 次。起初我以为 while 循环会运行 n 次，因为我把 i 误认为是 1，但事实并非如此。我一直在输入数字以查看程序何时停止，但没有看到一致的模式。我注意到随着 n 的增加，while 循环运行的时间更长（但不是很多），所以这可能有点对数吗？提前致谢。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

MBo 的答案非常详细。如果到目前为止，您可能会问自己，为什么第一次运行有 n 个 while-cycles，第二次运行 n/2 个 while-cycles，等等。

     x := n;
     while (x > 0)
         x := x - i;

根据 while 循环的条件，所有循环都会运行到 x==0

因此，第一个 while 循环运行：n-t*1=0 次整数 t 和 i==1

第二次 while 循环运行：n-t*2=0 某个整数 t 和 i==1 的次数

所以我们得到第一个n=t 第二个n=2tso n/2=t 第三个n/3=t

【讨论】：

【解决方案2】：

第一次运行产生 n 个 while 循环
第二次运行产生 n/2 个 while 循环
第三次运行产生 n/3 个循环
第 k 次运行产生 n/k 而循环

所以总时间与

成正比

n * (1/1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n)

在括号中我们可以看到harmonic series的部分和，它倾向于n的自然对数，复杂度是O(n log n)

【讨论】：