如果删除一条边，如何从旧 MST 更新 MST

Question

我正在研究算法，我见过这样的练习

我可以用指数时间解决这个问题，但是。我不知道如何证明这个线性时间 O(E+V)

我将不胜感激。

Answer 1

令 G 为嵌入最小生成树 T 的图；令 A 和 B 为从 T 中移除 (u,v) 后剩下的两棵树。

前提P：从重新连接A和B的G - (u,v)中选择最小权重边(x,y)。那么T' = A + B + (x,y)是G - (u ,v)。

P 的证明：很明显 T' 是一棵树。假设它不是最​​小值。然后会有一个 MST - 称之为 M - 重量更小。 M 要么包含 (x,y)，要么不包含。

如果 M 包含 (x,y)，则它必须具有 A' + B' + (x,y) 的形式，其中 A' 和 B' 是跨越与 A 和 B 相同的顶点的最小权重树。这些重量不能小于 A 和 B，否则 T 不会是 MST。所以 M 不小于 T' 毕竟是矛盾的； M 不存在。

如果 M 不包含 (x,y)，则在 M 中存在从 x 到 y 的其他路径 P。P 的一条或多条边从 A 中的一个顶点传递到 B 中的另一个顶点。称这样的一条边为 c .现在，c 至少具有 (x,y) 的权重，否则我们会选择它而不是 (x,y) 来形成 T'。注意 P+(x,y) 是一个循环。因此，M - c + (x,y) 也是一棵生成树。如果 c 的权重大于 (x,y)，那么这棵新树的权重将小于 M。这与 M 是 MST 的假设相矛盾。再次 M 不能存在。

由于在任何一种情况下，M 都不存在，所以 T' 必须是 MST。量子力学

算法 遍历 A 并将其所有顶点着色为红色。同样将 B 的顶点标记为蓝色。现在遍历 G - (u,v) 的边列表，找到连接红色顶点和蓝色顶点的最小权重边。新的 MST 就是这条边加上 A 和 B。

Answer 2

当您删除其中一条边时，MST 会分成两部分，我们称它们为 a 和 b，因此您可以做的是遍历部分 a 中的所有顶点并查找所有相邻的边缘，如果任何边缘在部件a 和部件b 之间形成链接，则您已找到新的 MST。

伪代码：

for(all vertices in part a){
    u = current vertex;
    for(all adjacent edges of u){
        v = adjacent vertex of u for the current edge
        if(u and v belong to different part of the MST) found new MST;
    }
}

复杂度为 O(V + E)

注意：您可以保留一个简单的数组来检查顶点是否位于 MST 的 a 部分或 b 部分。

还要注意，为了获得 O(V + E) 复杂度，您需要有一个图的邻接表表示。

Answer 3

假设您在删除边缘后有图 G'。 G' 由两个连通分量组成。

让图中的每个节点都有一个componentID。根据节点所属的组件设置所有节点的组件ID。这可以通过简单的 BFS 来完成，例如在 G' 上。这是一个 O(V) 操作，因为 G' 只有 V 个节点和 V-2 个边。

一旦所有节点都被标记，遍历所有未使用的边并找到连接两个组件的权重最小的边（两个节点的组件ID 将不同）。这是一个 O(E) 操作。

因此总运行时间为 O(V+E)。