从 O(|E|) 中的图中删除一条边后如何更正 MST？

Question

我正在研究算法，我看到一个练习说如下：

令 G=(V,E) 为加权无向图。令 T 为 G 的 MST。令 e 是 T 中的一条边，令 G'=(V,E') 是从 删除 e 后的 G（即 E'=E/{e} ）。 G' 是一个连通图。描述 一种校正 T 的算法，这样我们将得到 G' 的 MST T' O(|E|)。

A 我知道，去掉边后，T 现在被分成两个连通分量 T1 和 T2，我们需要找到连接它们的最小距离路径，即一条边，即我们需要找到连接 T1 和 T2 的最小权重边。

问题是我不知道如何证明这个算法以及如何在 O(|E|) 中实现它。我找到了this solution，但它需要的时间超过 O(|E|)。

我将不胜感激。

Answer 1

注意 |E| >= |V|。

选择任何顶点，将其标记为component1，迭代每个连接的顶点（沿MST 边）并标记component1。那是O(|V|)。

通过扫描直到未标记从其他组件中找到一个顶点。又是O(|V|)。

迭代第二个组件中的每个顶点（沿着 MST 边），选择连接到component1 的非 MST 边。跟踪最小边缘答案。那是O(|E|)

复杂度 O(|E|)