Kruskal 算法：当边缘变为强制时更新 MST答案

【问题标题】：Kruskal's Algorithm: Update MST when an edge becomes mandatoryKruskal 算法：当边缘变为强制时更新 MST
【发布时间】：2016-05-07 09:43:35
【问题描述】：

给定一个无向图 G = (V, E)。首先它被问到MST的成本是多少。我可以使用 Kruskall 算法轻松找出，如下所示：

G = (V, E)
for each edge (u, v) in E sorted by wight
{
    if(Find(u) != Find(v))
    {
        Add (u, v) to the MST
        Union(u, v); // put u and v in the same set
    }
}

之后，对于初始图中的每条边，询问如果该边出现在最小生成树中，新 MST 的成本是多少。

如果 MST 中已经存在边，则答案保持不变。否则，我可以再次运行 Kruskall。伪代码如下：

G = (V, E)
G1 = runKruskall(G)

for each edge (u, v) in E
{
    ClearUnionSets()
    if (u, v) in G1
    {
        print costOf(G1)
    } else {
        Union(u, v)
        G2 = runKruskall(G)
        print costOf(G2)
    }
}

这种方法的问题在于总复杂度为：O(E*E)

我的问题是，是否存在更新 MST 的更好解决方案，如上所述。

我在想的是，当第一次运行 Kruskall 时，对于每条边 (u, v)，如果 u 和 v 在同一个集合中，找到部分 MST 中已经存在的最大加权边，这使得一个带有 (u, v) 的循环，并将该信息存储在矩阵 M 中的 M[u][v] 中。这样做，当一条边成为强制性时更新 MST 的问题将在 O(1) 中得到解决。

谁能帮我解决这个问题？

【问题讨论】：

标签： algorithm computer-science graph-algorithm kruskals-algorithm

【解决方案1】：

对于不在 MST 上的每条边 u-v，包括边的最小生成树是 u-v 替换 MST 上从 u 到 v 的路径上的最大边的那棵。

可以如下高效地找到要替换的边。首先，将 MST 根植于任意顶点。我们将修改算法以找到两个顶点的lowest common ancestor (LCA)，描述为here。除了存储每个顶点的第 2^i 个父节点之外，我们还将存储到第 2^i 个父节点的路径上的最大边。使用这个数组，在计算 LCA 的同时，我们还将计算到 LCA 的路径上的最大边，这为我们提供了两个顶点之间路径上的最大边。

预处理包括在 O(E log E) 中找到 MST，并在 O(N log N) 中为 LCA 构建父表，需要 O(N log N) 空间。之后，为每条边找到修改后的 MST 只需要对 LCA 进行一次评估，这可以在 O(log N) 中执行。因此总复杂度仅为 O(E log E)。

【讨论】：