归并排序的大 O 复杂度答案

【问题标题】：Big Oh Complexity of Merge Sort归并排序的大 O 复杂度
【发布时间】：2017-04-11 02:01:43
【问题描述】：

我有一个关于 Big Oh for Merge Sort 的讲座，我很困惑。

显示的是：

0 合并 [] = n

1 合并 [] = (n/2 + n/2) = n

2 合并 [n/4][n/4][n/4][n/4] = 2(n/4 + n/4) = n

....

log(n) 合并 = n

总计 = (n + n + n + ... + n) = lg n = O(n log n)

我不明白为什么 (n + n + ... + n) 也可以表示为 n 的以 2 为底的对数，以及它们如何得到 2 次合并 = 2(n/4 + n/4)

【问题讨论】：

他们告诉我们，显然它也可以写成 Big-Oh :o
好吧，没见过

标签： algorithm sorting time-complexity big-o

【解决方案1】：

在 1 次合并的情况下，您有两个要排序的子数组，其中每个子数组的排序时间与 n/2 成正比。从这个意义上说，要对这两个子数组进行排序，您需要一个与 n 成比例的时间。

同样，当您进行 2 次合并时，有 4 个子数组需要排序，每个子数组所花费的时间与 n/4 成正比，总和为 n。

同样，如果您有 n 次合并，则将花费与 n 成比例的时间来对所有子数组进行排序。从这个意义上说，我们可以将归并排序所花费的时间写成如下。

T(n) = 2 * T(n/2) + n

你会明白这个递归调用可以深入（比如说到 h 的高度）直到n/(2^h) = 1。通过在这里记录日志，我们得到 h=log(n)。这就是 log(n) 出现的方式。这里的 log 取自 base 2。

由于您有 log(n) 个步骤，其中每个步骤花费的时间与 n 成正比，因此所花费的总时间可以表示为，

n * log(n)

在大 O 符号中，我们将其作为上限 O(nlog(n))。希望你明白了。

以下递归树的图像将进一步启发您。

【讨论】：

您是否以某种方式生成了树，或者您找到了它？我很好奇。
@synchronizer：是常用的图片。我曾经在我自己的answers 中使用过它。

【解决方案2】：

以下部分的最后一行写在你的问题中，

0 合并 [] = n

1 合并 [] = (n/2 + n/2) = n

2 合并 [n/4][n/4][n/4][n/4] = 2(n/4 + n/4) = n

....

n merges = n --此行不正确！

错了。您不会有总共 n 次大小为 n 的合并，而是 Log n 次大小为 n 的合并。

在每个级别，您将问题大小分成 2 个大小一半的问题。当你继续潜水时，你可以做的总分是 Log n。（如何？假设可能的总划分为 x。那么 n = 2^x 或 x = Log₂n。）

由于在每个级别上您总共做了 O(n) 的工作，因此对于 Log n 级别，完成的所有工作的总和将是 O(n Log n)。

【讨论】：

【解决方案3】：

树的深度为 log(n)，宽度为 n。 :)

【讨论】：

log(n) 的深度是多少？
抱歉这个令人困惑的答案。 @Imesha Sudasingha 带来了一张关于深度和宽度的可爱图表。

【解决方案4】：

日志部分是“在我只剩下一个元素之前，我可以将数据分成多少次？”的结果。这是递归树的深度。 n 的倍数来自这样一个事实，即对于树中的每个级别，您将在该级别的所有合并步骤之后查看数据集中的每个元素。

recurse downwards:
    n unsorted elements
  [n/2][n/2] split until singletons...
  ...
merge n elements at each step when recursing back up
  [][][]...[][][]
  [ ] ... [ ]
  ...
  [n/2][n/2]
  n sorted elements

【讨论】：

log base 2 of n 是拆分数据集直到只剩下单例所需的次数。每个级别都有“n”个，因为在特定级别的所有合并步骤中，您最终会遍历每个子数组的整体。我承认，Imssha 的回答更具体。希望我能帮上一点忙。

【解决方案5】：

这很简单。正如您所演示的，每个合并都需要 O(n) 。您需要进行的合并次数是 log n（以 2 为底），因为每次合并都会使已排序部分的大小加倍。

【讨论】：