递归方法中的大 O 复杂度

Question

对于f(n) = f(n/2) + 1，其中n 是2 的幂(n >= 2)，

f(1) = 1,

会不会

f(n) = O(logn),
f(n) = O(loglogn),
or
f(n) = O(sqrt(logn))

我相信它是第一个，但我不确定如何验证。

Answer 1

两种方法：

(1) 你可以使用归纳法：

假设 O(logn) 是正确的，那么我们应该显示：

---> 对于 n=1：它是真的 => f(2) = f(1) + 1 = 1 (f(1) 为零，因为 n>=2) 所以，它是常数并且 o (log2) = o(1)

---> 如果 n 为真，那么下一个值也应该为真（因为 n 是 2 的幂，所以它是 2n）：

因此，我们假设 f(n) = f(n/2) + 1 时 O(logn) 为真

现在，我们应该看看它是否仍然适用于：

f(2n): f(2n) = f(n) + 1 => O(log2n) = O(logn) + 1

所以，我们可以再次看到它是真的。因为，对于较大的 n，我们有：

Left_side_of_equation：O(log2n)=O(logn + 1) = O(logn)

Right_side_of_equation：O(logn)+1 = O(logn)

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（2）二叉搜索树概念：

如果您了解二叉搜索树，那么这个公式显示了可以基于二叉搜索树的算法的计算时间。所以，每一层的计算时间取决于它的子层（我的意思是它下面的一层）。而且，在每一层，添加的计算时间是 O(1)。因此，在二叉搜索树中，由于您有 Logn 层，因此您总共将拥有：Logn * o(1) 复杂度，即 O(logn)。

Answer 2

如果n 是2 的幂，我们可以写成n = 2^m。重复阅读

f(2^m) = f(2^(m-1)) + 1

可以看作

g(m) = g(m-1) + 1

g(0) = 1.

这没什么大不了的

g(m) = m + 1

这意味着

f(n) = log2(n) + 1.

这是确切的解决方案。