在最多包含两个负边的图中查找最短路径距离

Question

我得到一个有向图，其中每条边都有一个成本。利用图中最多有两个负边这一事实，我的目标是找到从给定节点 s 到所有节点的最短路径距离在V中。算法的时间复杂度应该是O(|E| + |V|*log|V|)，所以我觉得需要应用Dijkstra的算法。

我猜我需要以某种方式将给定图转换为具有非负权重的新图，该图中从 s 到 v 的最短路径将等效于给定图中所需的最短路径.. 或也许我需要修改 Dijkstra 的算法？

我现在很挣扎。任何帮助将不胜感激！

Answer 1

由于 Dijkstra 的算法是贪心的，它不适用于负权重。为此，您需要一些其他算法，例如 the Bellman-Ford Algorithm。

但是，如果您仍想使用 Dijkstra 算法，有一种已知方法。在这种方法中，您需要重新分配成本，使所有成本都变为正数。

为此，您可以查看 约翰逊算法。 Johnson 的算法由以下步骤组成（取自Wikipedia）：

1. 首先，将一个新节点 q 添加到图中，通过零权重边连接到其他每个节点。
2. 其次，使用 Bellman-Ford 算法，从新顶点 q 开始，为每个顶点 v 找到从 q 到 v 的路径的最小权重 h(v)。如果这一步检测到负循环，则算法终止。
3. 接下来，使用 Bellman–Ford 算法计算的值对原始图的边重新加权：从 u 到 v，长度为 w(u,v) 的边被赋予新的长度 w(u,v) + h(u) - h(v)。
4. 最后，q 被移除，并使用 Dijkstra 算法在重新加权的图中找到从每个节点 s 到每个其他顶点的最短路径。

Answer 2

只是一些定义开始：

• 设负边为n1 = (n1s, n1e)（即从顶点n1s到顶点n1e）
  和n2 = (n2s, n2e)。

• 将我们要查找的最短路径的起点和终点分别定义为s和e。

基本思路：

以负权边的起始顶点和每个结束顶点的每个组合为起点，以负权边的结束顶点和每个起始顶点为终点，多次运行 Dijkstra 算法，并使用这些值来找到实际的最短路径。

算法：

• 使用 Dijkstra 算法确定以下最短路径，均不包括两个负边：

  se   = s -> e                  // shortest path from s to e
  sn1  = s -> n1s                // shortest path from s to n1
  sn2  = s -> n2s                // shortest path from s to n2
  ne1  = n1e -> e                // shortest path from n1 to e
  n1n2 = n1e -> n2s              // shortest path from n1 to n2
  ne2  = n2e -> e                // shortest path from n2 to e
  n2n1 = n2e -> n1s              // shortest path from n2 to n1
  

• 现在只需计算最小值：

  se                             // s to e
  sn1 + n1 + ne1                 // s to n1 to e
  sn2 + n2 + ne2                 // s to n2 to e
  sn1 + n1 + n1n2 + n2 + ne2     // s to n1 to n2 to e
  sn2 + n2 + n2n1 + n1 + ne1     // s to n2 to n1 to e
  

由于 Dijkstra 算法的运行次数恒定为 7 次，
运行时间将为O(7(|E| + |V| log |V|)) = O(|E| + |V| log |V|)。