使用 Floyd-Warshall 查找所有最短路径和距离

Question

首先，介绍一点背景知识：我正在使用基本图形算法（Dijkstra、Floyd-Warshall、Bellman-Ford 等）构建一个简单的图形类，以用作即将举行的编程竞赛的参考表。

到目前为止，我有一个 Floyd-Warshall 的功能版本，但缺点是到目前为止它只能让我获得两个节点之间的最短 距离值，而不是 最短路径时间>。最好我希望在算法本身内进行路径构建，而不必调用另一个函数来重建它。

以下是我正在使用的数据结构的一些信息：

vector< vector<int> > graph //contains the distance values from each node to each other node (graph[1][3] contains the length of the edge from node #1 to node #3, if no edge, the value is INF

vector< vector<int> > path //contains the "stepping stones" on how to reach a given node. path[st_node][end_node] contains the value of the next node on the way from end_node -> st_node

这是我正在使用的示例图表数据：

INF 10  INF INF INF INF
INF INF 90  15  INF INF
INF INF INF INF INF 20
INF INF INF INF 20  INF
INF INF  5  INF INF INF
INF INF INF INF INF INF

这是“路径”变量中的所需值（通过从每个节点运行 Dijkstra 获得）：

INF  0   4   1   3   2
INF INF  4   1   3   2
INF INF INF INF INF  2
INF INF  4  INF  3   2
INF INF  4  INF INF  2
INF INF INF INF INF INF

这是我目前用于算法的代码的链接：(via PasteBin)。

任何帮助将不胜感激！

编辑：我尝试Wikipedia's code 生成路径矩阵，结果如下：

INF INF  4   1   3   4
INF INF  4  INF  3   4
INF INF INF INF INF INF
INF INF  4  INF INF  4
INF INF INF INF INF  2
INF INF INF INF INF INF

它有点工作，但在表示“单个”步骤时存在问题。例如，从节点 0 到节点 1 的路径在任何地方都是未定义的。 （不过，感谢 Nali4Freedom 的建议）

Answer 1

嘘！

我对添加 Wikipedia 的代码 sn-p 的结果进行了仔细观察，然后我想出了一个适配器，可以将其结果转换为我的结果，而无需调用单独的函数：

// Time to clean up the path graph...
for (int st_node = 0; st_node < this->size; st_node++)
{
    for (int end_node = 0; end_node < this->size; end_node++)
    {
        int mid_node = this->path[st_node][end_node];

        if (mid_node == INF)
        {
            // There is no mid_node, it's probably just a single step.
            if (this->graph[st_node][end_node] != INF)
            {
                this->path[st_node][end_node] = st_node;
            }

        } else {
            // The mid_node may be part of a multi-step, find where it leads.
            while (this->path[mid_node][end_node] != INF)
            {
                if (this->path[mid_node][end_node] == mid_node) { break; }  // Infinite loop
                if (this->path[mid_node][end_node] == INF) { break; }   // Dead end

                mid_node = this->path[mid_node][end_node];
            }

            this->path[st_node][end_node] = mid_node;

        }   // IF mid_node
    }   // FOR end_node
}   // FOR st_node

本质上，当从节点 A 到节点 B 时，这是一个单一的步骤 (mid_node == INF) 通过添加边（如果它存在于原始图中）来补偿。或者，如果它指向的节点只是通往目标节点(this->path[mid_node][end_node] != INF) 的垫脚石，那么它会一直挖掘直到找到它通向的位置。

感谢大家的帮助，我想我只是需要有人大声思考！

Answer 2

维基百科有一些很好的信息和pseudocode。基本上你只需填写 |V|x|V| 'next' 矩阵，其中元素 i,j 包含从节点 i 到节点 j 需要前往的顶点的索引。然后可以给出从 i 到 j 的最短路径作为从 i 到 next[i][j] 和从 next[i][j] 到 j 的路径。您继续像这样递归地分解路径，直到获得完整路径。