确定包含具有额外条件的给定节点集的节点数量最少的图

Question

我有一个未加权的有向图，其中可能有也可能没有环。现在给定一组节点，我需要返回一个图，其中包含给定节点和最小数量的节点，以便它们连接起来。我无法创建新的边缘，所以我需要使用现有的。

希望这些图片能说明问题。从图表开始，

假设我们想要具有节点 c、f 和 g 的图，函数将返回此图

但是，还有一个条件。每条边都有一个名为 required 的布尔变量。如果设置为 true，则该边和相应的节点也需要包含在图中。

这是另一张图片来说明 黑边不是必须的，红边是必须的 假设我们有 a 和 c 作为要包含的节点。

所以不是返回一个 A->C 的图， 它会返回这个

为了更清楚地说明这一点，如果我们想要一个包含 b 和 c 的图，它也会返回该图，因为需要该边。

如何返回此图表？我不希望返回带有循环的图，但我意识到这并不总是可能的，因为循环的边缘可能都被标记为必需的。

我最初的想法是制作一个保留在所需边上的图副本，然后尝试将不相交的图拼凑在一起。但在我尝试将这些图表重新拼凑在一起的过程中，我找到了一个反例，表明它不是最小的图表。

Answer 1

您在第一个示例中的预期输出是否包括节点 e，从该节点可以访问所有其他节点？还是您的意思是弱连通性（意味着边缘的方向无关紧要）？我猜是第二种情况（从你的A，B，C例子来看），然后你可以

1. 忽略边是有向的（线性时间），
2. contract“必需的”边（线性时间），
3. 在所需点的子集上计算pairwise shortest paths（O(|V|³)，但我想你可以将其推低到 O(r|V|²)，其中 r 是所需点的数量），并且那么
4. 在所需的点上找到minimum spanning tree (O(r²))

这是你想要的吗？