具有 K 个额外节点的最小生成树

Question

假设我们得到一个二维平面图，其中有n 节点和每对节点之间的边，权重等于欧几里得距离。最初的问题是找到这个图的 MST，很清楚如何使用 Prim 或 Kruskal 算法解决这个问题。

现在假设我们有k 额外节点，我们可以将其放置在二维平面上的任何整数点中。问题是找到这些节点的位置，以便新图具有尽可能小的 MST，如果没有必要使用所有这些额外的节点。

显然不可能找到精确的解决方案（在多时间内），但目标是找到最好的近似解决方案（可以在 1 秒内找到）。也许您可以提出一些最有效的方法来抛出可能的解决方案，或者提供一些涵盖类似问题的文章。

Answer 1

这是您正在研究的非常有趣的问题。你有很多选择来解决这个问题。在这种情况下，最著名的启发式算法是 - Genetic Algorithms、Particle Swarm Optimization、Differential Evolution 和许多其他此类。

这种启发式方法的好处是您可以将它们的执行限制在一定的时间（比如说 1 秒）。如果这是我的任务，我会先尝试遗传算法。

Answer 2

您可以尝试使用贪心算法，尝试 MST 中最长的边，这可能会带来最大的节省。

选择最长的边，现在从每一边获取与所选边成角度的每个顶点的潜在边。

从中选择最佳施泰纳点。

修复 MST ...

重复直到 1 秒结束。

如果其中一个顶点本身就是一个施泰纳点，挑战是怎么办。