我有一个未加权的连通图。我想找到一个连接的子图，它肯定包含一组特定的节点，并且尽可能少的额外节点。这怎么可能实现？
为了以防万一，我会用更准确的语言重述这个问题。令 G(V,E) 为无权、无向、连通图。假设 N 是 V 的某个子集。找到 G(V,E) 的最小连通子图 G'(V',E') 以使 N 是 V' 的子集的最佳方法是什么？
近似值很好。
【问题讨论】：
标签： algorithm graph graph-theory subgraph graph-algorithm
这正是众所周知的 NP-hard Steiner Tree 问题。如果没有更多关于您的实例的详细信息，就很难就合适的算法给出建议。
【讨论】：
我想不出一种有效的算法来找到最佳解决方案，但假设您的输入图是密集的，以下可能会工作得很好：
将输入图G(V, E) 转换为加权图G'(N, D)，其中N 是您要覆盖的顶点子集，D 是原始图中相应顶点之间的距离（路径长度）图形。这会将所有不需要的顶点“折叠”成边。
计算G' 的最小生成树。
通过以下过程“扩展”最小生成树：对于最小生成树中的每条边d，取图中G中的相应路径，并添加路径上的所有顶点（包括端点）到结果集V' 以及到结果集E' 的路径中的所有边。
这个算法很容易出错，给出次优的解决方案。示例：等边三角形，在角处、边中点和三角形中间有顶点，边沿边和从角到三角形的中间。为了覆盖角落，选择三角形的单个中间点就足够了，但是这个算法可能会选择边。尽管如此，如果图形很密集，它应该可以正常工作。
【讨论】：
最简单的解决方案如下：
a) 基于 mst：
- 最初，V 的所有节点都在 V'
- 构建图 G(V,E) 的最小生成树 - 将其称为 T。
- 循环：对于 T 中不在 N 中的每个叶子 v，从 V' 中删除 v。
- 重复循环，直到 T 中的所有叶子都在 N 中。
b) 另一种解决方案如下 - 基于最短路径树。
- 选择 N 中的任何节点，称其为 v，令 v 为树 T = {v} 的根。
- 从 N 中删除 v。
在算法开始时：使用任何已知的有效算法计算 G 中的所有最短路径。
就个人而言，我在我的一篇论文中使用了这个算法，但它更适合分布式环境。 让 N 是我们需要互连的节点集。我们想要构建图 G 的最小连通支配集，并且我们想要优先考虑 N 中的节点。 我们给每个节点 u 一个唯一的标识符 id(u)。如果 u 在 N 中，我们让 w(u) = 0，否则 w(1)。 我们为每个节点 u 创建对 (w(u), id(u))。
每个节点 u 构建一个多集中继节点。也就是说，一组 M(u) 的 1 跳邻居使得每个 2 跳邻居都是 M(u) 中至少一个节点的邻居。 【M(u)越小，解越好】。
u 在 V' 中当且仅当： u 在其所有邻居中具有最小的对 (w(u), id(u))。 或者在 M(v) 中选择 u，其中 v 是 u 的 1-hop 邻居，具有最小的 (w(u),id(u))。
-- 以集中方式执行此算法的技巧是高效计算 2 跳邻居。我可以从 O(n^3) 得到的最好的结果是通过矩阵乘法得到 O(n^2.37)。
-- 我真的很想知道最后一个解的近似比率是多少。
我喜欢这个关于 steiner 树启发式的参考： 斯坦纳树问题，黄弗兰克；理查兹·达纳 1955- 温特·帕维尔 1952
【讨论】：
您可以尝试执行以下操作：
为所需的节点 N 创建一个 minimal vertex-cover。
将这些可能未连接的子图折叠成“大”节点。即对于每个子图，将其从图中移除，并用新节点替换。调用这组节点N'。
对N'中的节点进行最小顶点覆盖。
“解包”N' 中的节点。
不确定它是否会在某个特定范围内为您提供近似值。你甚至可以欺骗算法做出一些非常愚蠢的决定。
【讨论】：