将时间复杂度降低到 O(1)

Question

我编写了一个程序，它打印 1 到 d 之间的数字的数量，这些数字可以除以 4 个不同的整数：k、l、m、n。这具有 O(d) 的时间复杂度。但是我读到你可以用 O(1) 的时间复杂度做同样的事情，我不知道怎么做。

int k = in.nextInt();
int l = in.nextInt();
int m = in.nextInt();
int n = in.nextInt();
int d = in.nextInt();

int sum = 0;
int i = 1;
while (i <= d) {
    if (i % k == 0 || i % l == 0 || i % m == 0 || i % n == 0) {
        sum++;
    }
    i++;
}
System.out.println(sum);

Answer 1

假设对于每个数字i，您有一个集合S_i 显示[1, d] 中的数字，它们是i 的乘数。现在我们要计算S_l, S_k, S_m, S_n 的联合大小。等于

|S_l U S_m U S_n U S_k| = |S_l| + |S_m| + |S_n| + |S_k| - |S_l ∩ S_m| - |S_l ∩ S_n| - |S_l ∩ S_k|- |S_m ∩ S_n| - |S_m ∩ S_k| - |S_n ∩ S_k| + |S_l ∩ S_m ∩ S_n| + |S_l ∩ S_m ∩ S_k| + |S_l ∩ S_n ∩ S_k| + |S_m ∩ S_n ∩ S_k| - |S_l ∩ S_m ∩ S_n ∩ S_k|。

您需要的唯一一点是这里两个或多个集合的交集大小等于d/lcm，lcm 是集合的相应数字的最小公倍数。 例如，|S_l ∩ S_m ∩ S_n ∩ S_k| 的大小等于d/lcm(l,m,n,k)。因为，如果一个数可以被多个数整除，那么它一定可以被它们的 lcm 整除。因此，d中的lcm的乘数可以被d/{lcm of the corresponding numbers}统计。

现在，如果您可以假设计算lcm 可以在O(1) 中完成，那么您可以找到|S_l U S_m U S_n U S_k| 的大小。在O(1) 中也是如此。

Answer 2

O(1) 解：

int main() {
  int arr[4], d;
  for(int i = 0; i < 4; ++i) 
      cin >> arr[i];
  
  int d;
  cin >> d;

  int sz = 1 << 4;

  int odd, even;

  odd = even = 0;

  for(int i = 1, i < sz, ++i) {
    int p = 1;
    for(int j = 0; j < 4; ++j) {
      if(i & (1<<j)) p = lcm(p,arr[j]);
    }
    if(__builtin_popcount(i) & 1)
      odd += d / p;
    else even += d / p;
  }
  
  cout << odd - even;

  return 0;
}