具有比特成本的时间复杂度

Question

我正试图围绕比特成本（而不是单位成本）研究算法的时间复杂度的概念，似乎不可能找到关于该主题的任何内容.

这是我目前所拥有的：

使用任意算术运算，两个数的 n 位乘法和除法的位成本为 O(n^2)。

所以，例如：

int number = 2;
for(int i = 0; i < n; i++ ){
    number = i*i;
}

具有 O(log(n)^2*n) 的时间复杂度，因为它执行 n 次乘法，i 具有 log(i) 位。

但在常规情况下，我们希望获得与输入相关的时间复杂度。那么，这种情况如何运作？ i 中的位数可以被认为是一个常数。这将使时间复杂度与单位成本相同，但常数更大（因此两者都是线性的）。

加法、减法、比较和赋值变量都是 O(n)，n 是位数，用于任意精度算术。

Answer 1

使用有限精度算术（例如您的示例中最可能的 32 位 int 乘法），乘法的位成本是恒定的。使用简单的乘法算法将两个int 相乘的成本是O(32^2)（为了更好的算法，请看here）。这与O(1) 相同，因此人们在分析算法时通常会忽略它。

但是，如果我们使用任意精度算术，那么它就变得很重要。如果一个任意长且值为i 的数字以位存储，它将占用O(log(i)) 位。所以你的代码 sn-p 的成本是O(log(n)^2 * n)（我使用的事实是所有i都不大于n，因为你的循环上升到n）。

就加法和减法而言，我想说它们都有O(n) 的位成本，其中n 是较小操作数的位数。