基本时间复杂度？

Question

考虑这三个循环

O(N^2)

int i = 0, s = 0;
while (2*i <= N*N) {
s+=i;
i++;
}

O(N)

int i = 0, s = 0;
while (s <= N*N) {
s+=i;
i++;
}

O(sqrt(N))

int i = 0, s=0, p=1;
while (s < N) {
i++;
p = p*i;
s += i;
}

第一个的时间复杂度是 O(N^2)，但第二个是 O(N)（对我来说似乎 N^2 会更合适）。怎么会？另外，为什么循环三是 sqrt(N) 而不是 log(N) - 我如何分辨？

Answer 1

第二个： 假设迭代将是 k 然后循环将重复：

1+2+3+...k <= N^2 --> k*(k-1)/2 <= N^2 --> k^2 <= N^2 --> k is O(N).

第三个： 假设迭代将是 k 然后循环将重复：

1+2+3...+k <= N -->...--> k^2 <= N --> k is O( sqrt(N) ).