我有一些微分方程，我想为各种起始值绘制解 N_0
以下是方程式：
dN\dt= bN^2 - aN
dN\dt = bN^2 (1 - N\K) - aN
我该怎么做？
我并不真正关心使用的语言。在专用数学方面，我的计算机上有数学和 matlab。我可以使用枫树。我必须做更多这样的事情，而且我想要任何语言的例子，因为它会帮助我弄清楚我想使用和学习哪一种。
【问题讨论】：
标签： math matlab wolfram-mathematica maple
我将假设第一个问题无法解析求解，以展示如何在数学中使用一般 ODE。
定义
p1[n0_, a_, b_, uplim_: 10] :=(n /. First@NDSolve[
{n'[t] == b*n[t]^2 - a*n[t], n[0] == n0},n, {t, 0, uplim}]
返回 ODE 的解，即 a = p1[.1, 2., 3.] 然后例如a[.3] 告诉你n(.3)。然后可以做类似的事情
Show[Table[ans = p1[n0, 1, 1];
Plot[ans[t], {t, 0, 10}, PlotRange \[Rule] Full],
{n0, 0, 1, .05}], PlotRange \[Rule] {{0, 5}, {0, 1}}]
它绘制了一些具有不同初始值的解决方案：
或者，为了深入了解解决方案，可以交互操作a、b 和n0 的值：
Manipulate[
ans = p1[n0, a, b];
Plot[ans[t], {t, 0, 10},PlotRange -> {0, 1}],
{{n0, .1}, 0, 1},
{{a, 1}, 0, 2},
{{b, 1}, 0, 2}]
它给出了类似的东西
在控件处于活动状态时（即您移动它们并且情节发生变化；尝试实时了解我的意思；请注意，您可以设置初始条件给出不同解决方案的参数）。
当然，这可以任意变得更复杂。同样在这种特殊情况下，这个 ODE 很容易进行分析积分，但是这种数值方法可以应用于通用 ODE（以及许多 PDE）。
【讨论】：
NDSolve 接受初始条件列表，您还可以执行Plot[(Evaluate[p1[Range[0, 1, .05], 1, 1][t]]), {t, 0, 5}] 之类的操作来在同一张图中绘制解决方案列表。
除了几个很好的答案之外，如果您只是想快速了解 ODE 针对许多起始值的解决方案，作为指导，您始终可以使用一行 StreamPlot。假设a==1 和b==1 和dy/dx == x^2 - x。
StreamPlot[{1, x^2 - x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]
StreamStyle -> "Line" 只会给你线条，没有箭头。
【讨论】：
在 Mathematica 中你使用 NDSolve（除非它可以解析求解，在这种情况下你使用 DSolve。所以对于你的第一个方程，我尝试了：
b = 1.1; a = 2;
s = NDSolve[{n'[t] == b n[t]^2 - a n[t], n[0] == 1}, n, {t, 0, 10}];
Plot[Evaluate[n[t] /. s], {t, 1, 10}, PlotRange -> All]
我不知道用什么来表示 a、b 或 N0，但我得到了这个结果：
【讨论】：
如果您乐于用数值求解方程，MATLAB 有一组 ODE 求解器可能有用。查看ode45 函数here 的文档。
一般的方法是定义一个描述微分方程右侧的“ode 函数”。然后将此函数以及初始条件和积分范围传递给ode 求解器。
这种方法的一个吸引人的特点是它以直接的方式扩展到耦合 ODE 的复杂系统。
希望这会有所帮助。
【讨论】：