“最佳情况下性能 Θ(1) -> 运行时间 ≠ Θ(log n)”是否有效？答案

【问题标题】：Is "best case performance Θ(1) -> running time ≠ Θ(log n)" valid?“最佳情况下性能 Θ(1) -> 运行时间 ≠ Θ(log n)”是否有效？
【发布时间】：2015-03-30 05:23:37
【问题描述】：

这是一个证明算法的运行时间不能被认为是Θ(f(n))而应该是O(f(n))的论据。

例如这个关于二分查找的问题：Is binary search theta log (n) or big O log(n)

MartinStettner 的 response 更令人困惑。

考虑*-case的表演：

最佳情况性能：Θ(1)
平均情况下的性能：Θ(log n)
最坏情况下的性能：Θ(log n)

然后他引用了Cormen、Leiserson、Rivest：“算法简介”：

当我们说“运行时间是 O(n^2)”时，我们的意思是最坏情况下的运行时间（它是 n 的函数）是 O(n^2) ...

这不是表明running time 和worst-case running time 是同义词吗？

此外，如果running time 指的是具有自然输入f(n) 的函数，则必须有包含它的Θ 类，例如Θ(f(n))，对吧？这表明您有义务使用O 表示法，只有当运行时间不是很精确时（即只知道一个上限）。

【问题讨论】：

这个问题可能更适合the Computer Science community
我应该删除它并在那里重新发布吗？
很难说，大问题确实在这里得到了解答，但由于这很深，你可能会在计算机科学方面取得更大的成功。
vuplea：是的。而这个“最佳案例”实际上并没有任何意义。

标签： performance big-o time-complexity complexity-theory big-theta

【解决方案1】：

当您编写O(f(n)) 时，这意味着您的算法的运行时间由函数c*f(n) 限定，其中c 是一个常数。这也意味着您的算法可以在比c*f(n) 少得多的步骤中完成。我们经常使用 Big-O 表示法，因为我们想要包含算法完成速度比我们指示的更快的可能性。另一方面，Theta(f(n)) 意味着算法总是在c*f(n) 步骤中完成。二进制搜索是O(log(n))，因为它通常会在log(n) 步骤中完成，但如果幸运的话可以一步完成（最佳情况下的性能）。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果我读到有关运行时间的信息，我总是会感到困惑。

对我来说，运行时间是算法的实现需要在计算机上执行的时间。这可能在很多方面有所不同，因此是一件复杂的事情。

所以我认为算法的复杂性是一个更好的词。

现在，复杂性（在大多数情况下）是最坏情况下的复杂性。如果您知道最坏情况的上限，那么您也知道它只能在其他情况下变得更好。

因此，如果您知道存在一些（可能是微不足道的）情况，您的算法只执行几个（常数）步骤并停止，您不必关心下限，因此您（通常) 使用 big-O 或 little-o 表示法的上限。

如果您仔细计算，也可以使用Θ 表示法。

但请注意：所有复杂性都只存在于它们所关联的案例中。这意味着：如果您做出“输入是最佳情况” 之类的假设，这会影响您的计算以及由此产生的复杂性。在二进制搜索的情况下，您发布了三种不同假设的复杂性。你可以这样概括：“二分搜索的复杂性在于O(log n)”，因为Θ(log n) 的意思是“Ω(log n) 和O(log n)”，而O(1) 是@ 的子集987654329@.

总结： - 如果你知道复杂度的精确函数，你可以在Θ-notation 中给出复杂度 - 如果你想得到一个整体的上限，你必须使用O-notation，直到所有输入案例的下限与上限没有差异。 - 在大多数情况下，您必须使用O-notation，因为算法过于复杂，无法获得接近的上限和下限。

【讨论】：