从 x=0,infinity 优化积分 f(x)exp(-x)

Question

我需要在 x=0 和无穷大之间为 f(x)exp(-x) 提供稳健的积分算法，其中 f(x) 是一个正的、可微分的函数。 我不知道数组x 先验（它是我例程的中间输出）。 x 数组通常是 ~log-equispaced，但非常不规则。 目前，我正在使用辛普森算法，但我的问题是，x 数组经常对域进行高度欠采样，这会产生不切实际的积分值。 在我的代码的每次运行中，我都需要进行数千次这种集成（每次都有一组不同的 x 值），因此我需要找到一种有效且稳健的方法来集成此函数。

更多详情： x 数组可以有 2 到 N 个点（已知 N 个）。第一个值始终是x[0] = 0.0。最后一点始终是大于可调阈值x_max 的值（例如exp(x_max) approx 0）。我只知道f 在点x[i] 的值（虽然该函数是一个平滑函数）。

我的第一个想法是进行拉盖尔-高斯正交积分。然而，当不使用最佳正交点时，这种算法似乎非常不可靠。

我目前的想法是添加一组辅助点，插值f，这样Simpson算法就变得更稳定了。如果我这样做，是否存在辅助点的最佳选择？

我会很感激任何建议， 谢谢。

Answer 1

设置t=1-exp(-x)，然后dt = exp(-x) dx，积分值等于

integral[ f(-log(1-t)) , t=0..1 ]

您可以使用标准的辛普森公式进行评估，并希望得到好的结果。

请注意，分段线性插值总是会导致积分的 2 阶误差，因为即使方法是 Simpson，结果也相当于梯形公式。为了在 Simpson 方法中获得更好的误差，您将需要更高的插值度，最好是三次样条。使用估计导数来计算控制点的三次 Bezier 多项式可能是一种快速的折衷方案。