(exp(x) - exp(-x))/(2*x) 的泰勒级数答案

【问题标题】：Taylor series for (exp(x) - exp(-x))/(2*x)(exp(x) - exp(-x))/(2*x) 的泰勒级数
【发布时间】：2018-09-13 21:55:41
【问题描述】：

我被要求编写一个函数来计算 (exp(x) - exp(-x))/(2*x) 的泰勒级数，直到绝对误差小于机器的 eps。

function k = tayser(xo)
f = @(x) (exp(x) - exp(-x))/(2*x);
abserror = 1;
sum = 1;
n=2;
while abserror > eps
    sum = sum + (xo^n)/(factorial(n+1));
    n=n+2;
    abserror = abs(sum-f(xo));
    disp(abserror);
end 
k=sum;

我的问题是，abserror 永远不会低于机器的 eps，从而导致无限循环。

【问题讨论】：

我认为条件应该是“直到绝对误差与机器的 eps 相当”。如果您设法在 eps 以下出现错误，那将是偶然的。 eps 的阈值太低。您可能应该使用类似 10*eps 作为绝对误差阈值
你用什么xo？我试了几次，都没有死循环。
非常感谢您的即时回复@LuisMendo。我使用机器的 eps 和 0 尝试了一些合乎逻辑的情况，最终我被问到“直到绝对错误为 0”（因为 0
@ViG 感谢您的即时回复。我正在尝试 ????o=10^−13, xo=10^−14,xo=10^−15,xo=10^−16 和 xo=0。

标签： matlab infinite-loop taylor-series

【解决方案1】：

问题在于您使用的表达式。对于小数exp(x) 和exp(-x) 近似相等，所以exp(x)-exp(-x) 接近于零并且绝对低于1。由于您从1 开始并且只添加正数，因此您永远无法达到函数值。

将表达式重写为

f = @(x) sinh(x)/x;

会起作用，因为这些小值更稳定。

您也可以通过绘制这两个函数来看到这一点：

x = -1e-14:1e-18:1e-14;
plot(x,(exp(x) - exp(-x))./(2*x),x,sinh(x)./x)
legend('(exp(x) - exp(-x))/(2*x)','sinh(x)/x')

给了

【讨论】：

哇！非常感谢！这种方式完全有效！你真棒！ :D