我正在寻找一种算法来找到点云和球体之间的最佳拟合。
也就是说，我要最小化
其中C是球体的中心，r是它的半径，每个P是我的一组n中的一个点 点。变量显然是Cx、Cy、Cz和r。 在我的例子中，我可以预先获得一个已知的 r，只留下 C 的组件作为变量。
我真的不想使用任何类型的迭代最小化（例如牛顿法、Levenberg-Marquardt 等）- 我更喜欢一组线性方程或明确使用 SVD 的解决方案。
【问题讨论】：
标签： algorithm 3d least-squares
没有即将推出的矩阵方程。您选择的 E 表现不佳；它的偏导数甚至不是连续的，更不用说线性了。即使有不同的目标，这个优化问题似乎基本上是非凸的。有一个点 P 和非零半径 r，最优解集是关于 P 的球体。
您可能应该重新询问更多优化知识的交流。
【讨论】：
sum[i=0..n]( |P_i - C|^2 - r^2 )^2 之类的东西，这样您的衍生产品就会正常运行。而且，由于您的问题在任何情况下都是非线性的，因此您可能会遇到某种形式的迭代。
您可能会发现以下参考资料很有趣，但我会警告您 你需要对几何代数有一定的了解—— 特别是保形几何代数来理解 数学。但是，该算法很容易实现 标准线性代数技术，不是迭代的。
需要注意的是，该算法至少与所展示的一样适合中心和 半径，您也许可以想出一种方法来限制拟合，从而限制半径。
n-D 欧几里得空间中 k 球体的总最小二乘拟合 (n+ 2)-D 等距表示。 L Dorst，数学成像与视觉杂志，2014 p1-21
您可以从 Leo Dorst's researchgate page
最后一件事，我和作者没有关系。
【讨论】：
制作矩阵方程的简短描述可以找到here。
我看到 WildMagic 库使用 iterative method（至少在版本 4 中）
【讨论】：
您可能对最适合的 d 维球体感兴趣，即最小化到中心的平方距离的总体方差；它有一个简单的解析解（矩阵微积分）：参见 Cerisier 等人的开放获取论文的附录。在 J. 计算机。生物学。 24(11), 1134-1137 (2017), https://doi.org/10.1089/cmb.2017.0061 它在数据点被加权时起作用（它甚至适用于连续分布；作为副产品，当 d=1 时，会检索一个众所周知的不等式：峰度总是大于平方偏度加 1）。
【讨论】：
没有迭代很难做到这一点。
我会按照以下方式进行：
通过平均所有点的 (X,Y,Z) 坐标来找到整体中点
根据这个结果，找到 Ravg 到中点的平均距离，决定是还是继续..
从您的集合中删除距离第 2 步中发现的 Ravg 太远的点
回到第 1 步（再次平均点，产生更好的中点）
当然，这将需要 (2) 和 (4) 的一些条件，这取决于您的点云的质量！
【讨论】：
Ian Coope 有一个有趣的算法，他使用变量的变化来线性化问题。拟合非常稳健，虽然它略微重新定义了最优条件，但我发现它通常在视觉上更好，尤其是对于嘈杂的数据。
可在此处获得 Coope 论文的预印本：https://ir.canterbury.ac.nz/bitstream/handle/10092/11104/coope_report_no69_1992.pdf。
我发现这个算法非常有用，所以我在scikit-guess 中将它实现为skg.nsphere_fit。假设你有一个(m, n) 数组p，由 M 个维度为 N（这里 N=3）的点组成：
r, c = skg.nsphere_fit(p)
半径r是一个标量，c是一个包含中心的n-向量。
【讨论】：