当 x 趋于无穷时，f(x) 最小化 g(f(x)) 的阶数

Question

假设 f(x) 趋于无穷大，因为 x 趋于无穷大且 a,b>0。找到对

产生最低阶的 f(x)

因为 x 趋于无穷大。 order 我的意思是 Big O 和 Little o 符号。

我只能粗略解决：

我的解决方案：当 x 趋于无穷时，我们可以说 ln(1+f(x)) 大约等于 ln(f(x))。然后，我必须最小化

的顺序

因为对于任何 c>0，当 y =sqrt(c)，b+ln f(x)}=sqrt(ax) 时，y+c/y 被最小化。等效地，f(x)=e^(sqrt(ax)-b) 并且 g(x) 的最低阶是 2 sqrt(ax)。

你能帮我得到一个严谨的答案吗？

Answer 1

最小化（我应该说extremize）另一个函数的函数的严格方法是使用欧拉-拉格朗日关系：

因此：

泰勒展开：

如果我们只考虑“常量”项：

这当然是你得到的结果。

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接下来，线性项：

我们不能解析解这个方程；但我们可以在函数f(x) 中探索扰动 的影响（即，对先前解决方案的参数进行微小更改）。我们显然可以忽略f 的任何线性变化，但我们可以添加一个正乘因子A：

sqrt(ax) 和Af 显然都是正数，所以 RHS 有负号。这意味着ln(A) < 0，因此A < 1，即新的扰动函数给出了一个（稍微）更严格的界限。由于 RHS 必须非常小 (1/f)，A 不得小于 1。

更进一步，我们可以在f 的指数上添加另一个扰动B：

由于 ln(A) 和 RHS 都消失得很小，LHS 上的 B-term 必须更小才能使符号保持一致。

所以我们可以得出结论，(1) A 非常 接近 1，(2) B 远 小于 1，即你的结果得到的其实是一个很好的上界。

上述情况也导致f 的更高幂的界限可能更窄。