如何计算一个大数的 2 的幂模另一个大数？

【问题标题】：How to calculate 2 to the power of a large number modulo another large number?如何计算一个大数的 2 的幂模另一个大数？
【发布时间】：2019-12-08 11:09:12
【问题描述】：

M = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663

2^{96514807760119017459957299373576180339312098253841362800539826362414936958669} % M = ?

是否可以在 Python 中进行计算？还是有其他方法？

【问题讨论】：

到目前为止你有什么尝试？
我可以试试 sagemath，但数量巨大:(
你想要三个参数pow。见docs.python.org/3/library/functions.html#pow
这能回答你的问题吗？ pow or ** for very large number in Python
你知道96514807760119017459957299373576180339312098253841362800539826362414936958669有多大吗？要仅循环 2⁶⁴ 次，您需要大约 292 年，假设您每秒可以循环 20 亿次。这个数字远远大于 2⁶⁴，所以你在宇宙的生命周期中无法得到modular exponentiation。您也无法计算实际功率，因为宇宙中只有大约 10⁸⁰ 粒子，这意味着您没有足够的粒子来存储）

标签： python math modular modular-arithmetic

【解决方案1】：

为了计算结果，@MarkDickinson 在 cmets 中提到，三参数 pow 可以有效地执行此操作。

这是如何工作的简化解释：

计算2**N mod M，先找到K = 2**(N//2) mod M
如果N 是偶数，2**N mod M = K * K mod M
如果N 是奇数，2**N mod M = K * K * 2 mod M 这样，就不需要计算巨大的数字了。实际上，pow 使用的技巧更多，更通用，不需要递归。

这里是一些演示代码：

def pow_mod(B, E, M):
    if E == 0:
        return 1
    elif E == 1:
        return B % M
    else:
        root = pow_mod(B, E // 2, M)
        if E % 2 == 0:
            return (root * root) % M
        else:
            return (root * root * B) % M

M = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663
E = 96514807760119017459957299373576180339312098253841362800539826362414936958669

print(pow_mod(2, E, M))
print(pow(2, E, M))

【讨论】：