一种计算 2 的极大幂的有效方法答案

【问题标题】：An efficient way to calculate extremely large powers of 2一种计算 2 的极大幂的有效方法
【发布时间】：2019-12-05 21:51:56
【问题描述】：

我正在解决一个问题，该问题需要我计算一组所有可能子集的平方和。我需要返回这个总和，模 10^9+7

我明白其中的逻辑。我只需要将平方和并将结果乘以 2^N-1，其中 N 是集合的大小。

但问题是 N 可以大到 10^5。为此，我得到一个整数溢出。我研究了快速模幂运算，但我仍然会在哪里存储像 2^100000 这样大的东西？我可以在计算 2 的幂时使用模数来降低数字吗？这不会改变最终值吗？

如果有人能告诉我如何获取它或阅读什么内容，那将非常有帮助。

【问题讨论】：

为什么需要存储 2^100000 这么大的东西？为什么你甚至需要存储大于 10^9+7 的东西？
见boost::multiprecision。
(2^N-1)%(10^9 + 7) 只需要计算一次。然后使用身份(a * b)%c == ((a % c) * (b % c))%c。无论如何，在计算平方和（模 10^9 + 7）时，您可能需要做类似的事情以避免溢出。
power by squaring 直接以模计算不会溢出...参见modpow in here 它以 NTT 类的模 p 算术完成
使用 bignum 库（例如GMP）。

【解决方案1】：

如果你用 2^something_big 取模某个值，这意味着你不必输出超出something_big 的位。例如x%power(2,10) == x%(1<<10) == x&(1<<10 - 1) == x&1023。

因此，在您的情况下，问题在于计算模之前的实际值，同时记住您只需要 99999 位。所有高位都将被删除（如果我正确理解您的前提，则不应影响结果）。

顺便说一句。存储 99999 位是可行的。它只有 13kB。

【讨论】：