整数溢出时如何计算此模数

Question

(10^{17}-1)*(10^{17}-1) mod 10^{18}

我正在解决一个编程问题，我将整数保存在 64 位长整数中。以上是我无法解决的特殊情况。 (ab)mod m = (a mod m)(b mod m) mod m, 在这里不成立，因为 (a mod m)(b mod m) 仍然会溢出 64 位整数。我该如何解决这个问题？我仅以 17 次方为例。这个问题甚至适用于 (10^{10}, 10^{18}-1) 范围内的所有整数。

编辑：我正在使用 C++ 来解决这个问题。这个问题可以在不使用处理大整数的库的情况下解决。

Answer 1

你可以使用你引用的身份，你只需要另一个类似的身份：(a+b) mod m = (a mod m) + (b mod m)。

目标是乘以 x*y mod m 而没有任何中间值超过溢出限制（在本例中为 2^64），其中 x 的起始值小于 m（如果不是，则减少它 mod @ 987654325@)、y 可能大于m，并且x*y 可能会溢出。如果m 小于溢出限制的一半，我们可以这样做。

解决方案很简单：只需对x*y 逐位执行基本乘法，然后对m 进行模数运算。

从x 和y 开始小于m（如果不是，请先减少它）。以a_0 * 2^0 + a_1 * 2^1 + a_2 * 2^2 + ... 的形式写入y，其中a_n 为0 或1（表示该术语是否存在）。 （又名，以二进制形式写y。）现在我们有了：

x * (a_0 * 2^0 + a_1 * 2^1 + a_2 * 2^2 + ...) mod m

在y的每个条款上分配x：

(x * a_0 * 2^0) + (x * a_1 * 2^1) + (x * a_2 * 2^2) + ... mod m

然后使用原始乘法恒等式：对于上述每个项，将 x 乘以 2 mod m，直到您达到该项所需的 2 次方。 （因为x < m 和2 * m < 2^64，然后2 * x < 2^64，所以我们可以乘以2 而不会溢出。）完成后，将每个术语的结果相加m（您可以随时保持运行总和） )。

这些操作都不会超过 2^64，因此不会溢出。这适用于任何小于 2^64 / 2 = 2^63 的 m 值以及小于 m 的任何整数 x 和 y。

这不一定是最快的方法，请随意寻找更有效的方法。对于初学者来说，m 与溢出限制相比越小，我们可以将y 重写为的项的基数就越大。