将多项式拟合到函数的最大值

Question

我想将多项式拟合到噪声数据，以便近似多项式始终 >= 原始数据。例如：

x = linspace (-2, 6);
y = (x-2).^2 + 1 + 2 * randn (size (x));

function ret = delta (P, x, y)
  yP = polyval (P, x);
  d = yP - y;
  d (d < 0) *= 1000;
  ret = sumsq (d);
endfunction

P0 = polyfit (x, y, 2);
f = @(P) delta (P, x, y);
[P, FVAL] = sqp (P0, f)

xi = linspace (min(x), max(x), 100);
yi = polyval (P, xi);

plot(x, y, xi, yi);
grid on

有没有更好的方法/方法也适用于高阶多项式？

最简单的方法是只使用 polyfit 然后计算 max(y-yi) 并将其添加为偏移量，但这不是最佳选择...

编辑：我想使用 GNU OCtave，但添加了“matlab”作为标签，因为语言和功能相似。

编辑：基于 tvo 的回答和真实数据：

x = [10 20 30 40 50 60 80 100];
y = [0.2372, 0.1312, 0.0936, 0.0805, 0.0614, 0.0512, 0.0554, 0.1407];

function ret = delta (P, x, y)
  ret = sumsq (polyval (P, x) - y);
endfunction

f = @(P) delta (P, x, y);
h = @(P) polyval(P, x) - y;

P0 = polyfit (x, y, 3);
[P] = sqp (P0, f, [], h)

xi  = linspace (min(x), max(x));
yi  = polyval (P0, xi);
yio = polyval (P, xi);

plot(x, y, xi, yi, ";initial guess;", xi, yio, ";optimized;");
grid on

但如您所见，优化和评估的多边形的点

Answer 1

你的方法看起来不错，我看不出它实际上不能用于高阶多项式。如果您认为无法使用，请说明原因。

您正在使用 Octave 的“sqp”求解器。文档在这里：http://www.gnu.org/software/octave/doc/v4.0.1/Nonlinear-Programming.html

当误差为负数时，您可能希望避免将误差乘以任意数字（在您的示例中为 1000）。对于不同的数据集，这可能会失败，特别是如果它们更大，即更多的数据点。

您可以尝试使用 Octave 的“sqp”提供的非线性不等式约束选项，即 h(x)>=0（参见文档）。

作为目标函数 phi，您可以使用平方范数误差，就像在您的示例中一样，并为每个数据点添加 h(x)>=0 形式的约束。请注意，“x”是您要拟合的多项式系数，而 h(x) 是在特定数据点评估的多项式。

例如：

phi = @(P) delta_mod (P, x, y); % mod: Don't increase the importance of negative residuals!!
h = @(P) polyval(P, x1) - y1;

Psol = sqp(P0, phi, [], h);

请注意，约束函数“h”确保多项式位于 (x1,y1) 之上，并且目标函数“phi”将尝试使其尽可能接近。您可以扩展 'h' 以包含集合中每个数据点的一个约束（请参阅 doc）。