使用斐波那契最小堆的 dijkstra 的时间复杂度

Question

我一直在尝试使用斐波那契最小堆优化我的 Dijkstra 算法，根据这个 1[article] 应该采取复杂性 $O(M+Nlog(N))$ 其中：

• M 是边数
• N 是顶点数

我已经计算了总体复杂性，但我不确定它是否正确，我很想得到一些建议：

首先，我们有“声明和分配”，我会尽量避免，因为它们都是不变的基本操作，需要 $O(1)$ 并且对我的复杂性没有贡献 n $\to$ $\infty$。

第一个复杂度为 $O(N)$ 的 for 循环。

采用 $O(log(N))$ 的 headpop 方法假设我们在二叉堆中查找权重最小的节点。

这是我不确定的地方。所以我们从源中取出权重小的节点，然后更新邻居的标签，这意味着我们进入邻接列表（在本例中是字典）并检查集合中所有可能的边 $\delta^+(v) $，即从 v 到包含已访问节点的集合 $\S$ 之外的另一个顶点 u 的所有节点。因此，完整图的总体复杂度为 $O(n-1)$。

考虑到所有这些，我最终得到： $O(N\cdot(log(N) + M))$ $\equiv$ $O(N\cdot(log(N) + N - 1)) $ $\equiv$ $O(N \cdot log(N) + N^2)$ $\equiv$ $O(N^2)$ 对于较大的 N 值。

这不是我想要的解决方案的预期输出，因此我很高兴听到您的建议。

def dijkstra2(successors, s):

    S = []; S.append(s)
    n = len(successors)
    L = dict(); L[s] = 0
    P = dict(); P[s] = '-'

    # Iterate through the V/{s}-nodes and set L[j] to infinity and P[j] to s.
    for o in range(0, n):
        if o != s:
            L[o] = numpy.inf
            P[o] = s

    # Visited vector.
    visited = [False] * n;

    # Heapq
    queue = [(0, s)];


    while queue:
        par_len, v = heappop(queue);
        # v is unvisited
        if visited[v] is False:
            visited[v] = True
            for w, edge_len in successors[v].items():
                # Check if the child is unvisited and compute the distance.
                if visited[w] is False and edge_len + par_len < L[w] :
                    heappush(queue, (edge_len + par_len, w))
                    L[w] = edge_len + par_len
                    P[w] = v

    return L, P

Answer 1

Dijkstra 的算法是：

O(|E| |decrease-key(Q)| + |V| |extract-min(Q)|)

斐波那契堆：

O(|E| + |V| log |V|)

二进制堆：

O((|E| + |V|) log |V|)

E 是：

|E| = O(|V|^2)

Q 是： 最小优先级队列排序顶点由它们自己的当前距离估计。

初始化堆：

from heapq import *
from random import randint

f = FibonacciHeap()
h = []
n = 100
for i in xrange(0, n):
    r = randint(1, 1000)
    f.insert(r)
    heappush(h, r)

打印运行时间代码：

import time
# test fib heap running time 
start_time = time.time()
while f.total_nodes > 0:
    m = f.extract_min()
print "%s seconds run time for fib heap" % (time.time() - start_time)

# test heapq running time 
start_time = time.time()
while h:
    m = heappop(h)
print "%s seconds run time for heapq" % (time.time() - start_time)