假设 n>1 时 fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) 并且 fib(0)=a, fib(1)=b (一些 a, b >0 )，下列哪项是正确的？
fib(n) is
Select one or more:
a. O(n^2)
b. O(2^n)
c. O((1-sqrt 5)/2)^n)
d. O(n)
e. Answer depends on a and b.
f. O((1+sqrt 5)/2)^n)
解决我得到的斐波那契数列：
fib(n)= 1/(sqrt 5) ((1+sqrt 5)/2)^n - 1/(sqrt 5) ((1-sqrt 5)/2)^n
但在这种情况下，时间复杂度是多少？这是否意味着答案是 c 和 f？
【问题讨论】：
标签： time-complexity
根据公式的封闭形式，术语 1 / (sqrt 5) ((1 - sqrt 5) / 2)^n 具有限制 0，因为 n 增长到无穷大 (|(1 - sqrt 5) / 2| < 1)。因此我们可以忽略这个词。此外，由于在时间复杂度理论中我们不关心乘法常数，因此以下是正确的：
fib(n) = Θ(φ^n)
其中 φ = (1 + sqrt 5) / 2 又名golden ratio constant。
所以它是一个指数函数，我们可以排除a, d, e。我们可以排除c，因为据说它有限制0。但答案b 也是正确的，因为φ < 2 和O 表示一个上限。
最后，正确答案是：
b，f
【讨论】：
Θ(φ^n) 在 a=1 and b=1 或 a=1 and b=2 时是正确的。 The value of φ depends on a and b.
如果我们递归地计算 fib(n-1) 和 fib(n-2)，复杂度是 exponential，但如果我们保存最后两个值并使用它们，复杂度是 O(n)，而不取决于和 b.
【讨论】：