确定有向图是否是单边的

Question

你将如何确定一个有向图是否是单边的（对于任何一对顶点u,v，至少一个可以从另一个到达）？ 我认为您可以运行 DFS 或 BFS 并查看是否可以到达每个顶点。如果不是，则计算转置并从同一顶点执行相同的搜索算法。如果每个顶点都至少达到一个，那么图是单边的吗？

显然，您可以通过仅分析邻接矩阵来在较长的运行时间内完成此操作，但理想情况下我们希望在 O(V+E) 中运行

Answer 1

试试these algorithms。我在大学里学到的是 Floyd-Warshall，但它的表现并不如你所愿。 Johnsons's algorithm 对于稀疏图更快，但仍然是 O(V*E)，而不是 O(V+E)。

Answer 2

找到强连通分量，比如Tarjan's algorithm。 SCC 中的每个节点都可以从任何其他节点到达，因此它们在可以到达和被哪些节点到达方面是等价的。将每个 SCC 折叠成一个顶点，如果原始图是单边的，则生成的 DAG 将是单边的。

如果 DAG 是一个全序，即只有一个拓扑序，则它是单边的。如果有从 A 到 B 的路径，则 A 必须在 B 之前。如果有从 B 到 A 的路径，则 B 必须在 A 之前。你不能同时拥有两者，因为图现在是无环的。如果 A 和 B 之间没有路径，则它们是无序的，并且该图至少有 2 个拓扑顺序 - 一个是 A 在 B 之前，一个是 B 在 A 之前。

检查总顺序的一种快速方法是使用卡恩算法执行topological sort，并检查以确保在每次迭代中下一个顶点只有一个选择。

Tarjan 的 SCC 查找算法、SCC 折叠算法和 Kahn 的拓扑排序算法都在 O(V+E) 时间内运行。

Answer 3

我不完全确定这是否正确，但我认为检查有向图是否“连接”就足够了（请参阅下面的算法描述以了解我所说的连接的意思）。如果有向图中有多个连通分量，则它不是单边的。

证明尝试：

假设有向图有多个连通分量。为简单起见，让连接组件的数量为 2，我们将组件称为 C1 和 C2。从C1 中选择任意顶点v，从C2 中选择任意顶点w。由于它们在不同的连接组件中，所以从v 到w 或w 到v 没有路径，否则C1 和C2 将在同一个组件中。

对于另一种情况，假设有向图是连接的。那么对于有向图中的任意 2 个不同的顶点 x 和 y，要么存在从 x 到 y 或从 y 到 x 的路径，否则它们将不在同一个组件中。我知道这里有点手摇，但我并不擅长打样。

编辑：更简单的算法：

我确实认为修改后的深度优先搜索 / 广度优先搜索应该可以做到。本质上，我们可以从 any 顶点开始搜索。我们将从第一个顶点到达的所有顶点标记为已访问。然后遍历所有顶点。对于任何未访问的顶点，我们进行 BFS / DFS，并使用列表来跟踪我们遍历过的所有未访问的顶点。如果在 BFS/DFS 期间，我们没有从先前的 BFS/DFS 访问任何先前访问过的顶点，那么我们可以立即得出结论，有向图具有多个连通分量并且不是单边的。否则，我们将搜索过程中获得的列表中的所有顶点标记为已访问，然后继续。

一旦我们遍历了图中的所有顶点，所有 BFS / DFS 都命中了一些以前访问过的顶点，我们可以得出结论，该图是单边的。

一些伪代码来说明这一点。我将使用深度优先搜索：

// a boolean array to keep track if a given vertex is visited
// initially this is set to false
boolean[] visited
// boolean array to keep track of visited vertices for 2nd dfs onwards
boolean[] visited_two

// used for first dfs
dfs(vertex) {
  visited[vertex] <- true
  for each edge leading out of vertex {
    dfs(next vertex)
  }
}

// used for subsequent dfs
dfs_two(vertex, list_for_storing_vertices) {
  // we use the visited_two array here, because the
  // visited array is used to store previously visited
  // vertices
  visited_two[vertex] <- true
  list_for_storing_vertices.append(vertex)
  // return value. we return true if we encounter
  // a previously visited vertex. otherwise, return false
  return_value <- false
  for each edge leading out of vertex {
    if visited[next vertex]
      return_value <- true
    else if !visited_two[next_vertex]
      r = dfs_two(next vertex, list_for_storing_vertices)
      return_value = return_value || r
  }
  return return_value
}

// overall algorithm
// Returns true if the graph is unilateral. false otherwise
bool digraph_unilateral(graph) {
  // Just pick any vertex. we will pick vertex 0
  set all entries in `visited` array to false
  dfs(0)
  // then loop through all vertices. if they haven't been visited,
  // we perform a dfs
  for each vertex in the digraph {
    if !visited[vertex] {
      // reset visited_two array
      set all entries in `visited_two` array to false
      visited_list <- []
      encountered_previously_visited <- dfs_two(vertex, visited_list)
      if encountered_previously_visited {
        // mark the vertices we encountered as visited
        for each v in visited_list {
          visited[v] <- true
        }
      } else {
        // we did not encounter any previously visited vertex
        // so all vertices we encounter on this search are in
        // a distinct connected component
        return false
      }
    }
  }
  return true
}

原始的、更难的算法：

我们如何计算一个有向图是否是单边的？您可以先运行Tarjan's Strongly Connected Components algorithm 并确定有向图的强连通分量。您将需要稍微修改算法以将强连接组件压缩为超顶点。这并不难做到，只需为同一个强连通分量中的每个顶点分配一个整数标签即可。换句话说，同一个强连通分量中的所有顶点都将被1个超顶点替换。 Tarjan 的 SCC（强连通分量）算法在 O(V+E) 时间运行。

在上述步骤之后，有向图现在是无环（无环）。这使我们可以继续下一步。

之后，对上面的结果图执行拓扑排序。这应该给我们一个有向无环图的拓扑排序。此步骤也使用深度优先搜索实现在O(V+E) 时间运行。

现在我们有了拓扑排序，根据拓扑排序执行广度优先搜索或深度优先搜索 >有向无环图在 Tarjan 的 SCC 步骤之后获得。如果连通分量的数量为 1，则原始图是单边的（如果连通分量的数量为 0，它也是单边的，但那是一个空图，因此是微不足道的）。否则，有多个分量，原图不是单边的。这一步也在O(V+E)时间运行。

因此，整个算法运行在O(V+E)时间。

结论

我认为这应该是正确的，但您可能想与其他人验证这种方法。如果您在理解我的方法或实现算法方面有任何困难，请发表评论。

希望有帮助！