计算第一个三角形数以在 python 中有超过 500 个除数

Question

我正在尝试解决 Project Euler 的第 12 个问题。我可以在将近 4 分钟内计算出超过 500 个除数的数字。我怎样才能让它更快？这是尝试；

import time

def main():
    memo={0:0,1:1}
    i=2
    n=200
    while(1):
        if len(getD(getT(i)))>n:
            break
        i+=1
    print(getT(i))

#returns the nth triangle number
def getT(n):
    if not n in memo:
        memo[n]=n+getT(n-1)
    return memo[n]

#returns the list of the divisors
def getD(n):
    divisors=[n]
    for i in xrange(1,int((n/2)+1)):
        if (n/float(i))%1==0:
            divisors.append(i)
    return divisors

startTime=time.time()
main()
print(time.time()-startTime)

Answer 1

使用装饰器（由 activestate recipes 提供）保存先前计算的值，并使用列表推导生成除数：

def memodict(f):
    """ Memoization decorator for a function taking a single argument """
    class memodict(dict):
        def __missing__(self, key):
            ret = self[key] = f(key)
            return ret 
    return memodict().__getitem__

@memodict
def trinumdiv(n):
    '''Return the number of divisors of the n-th triangle number'''
    numbers = range(1,n+1)
    total = sum(numbers)
    return len([j for j in range(1,total+1) if total % j == 0])

def main():
    nums = range(100000)
    for n in nums:
        if trinumdiv(n) > 200:
           print n
           break

结果：

In [1]: %cpaste
Pasting code; enter '--' alone on the line to stop or use Ctrl-D.
:def main():
:       nums = range(10000)
:       for n in nums:
:               if trinumdiv(n) > 100:
:                  print 'Found:', n
:                  break
:
:startTime=time.time()
:main()
:print(time.time()-startTime)
:--
Found: 384
1.34229898453

和

In [2]: %cpaste
Pasting code; enter '--' alone on the line to stop or use Ctrl-D.
:def main():
:       nums = range(10000)
:       for n in nums:
:               if trinumdiv(n) > 200:
:                  print 'Found:', n
:                  break
:
:startTime=time.time()
:main()
:print(time.time()-startTime)
:--
Found: 2015
220.681169033

Answer 2

您不需要数组来存储三角形数字。您可以使用单个 int，因为您只检查一个值。此外，使用三角形数公式：n*(n+1)/2 可能会有所帮助，您可以在其中找到 nth 三角形数。

getD 也只需要返回一个数字，因为您只是在寻找 500 个除数，而不是除数的值。

但是，您真正的问题在于 for 循环中的 n/2。通过检查因子对，您可以使用sqrt(n)。所以只检查不超过sqrt(n) 的值。如果您检查到n/2，您会得到大量浪费的测试（以百万计）。

所以你想做以下事情（n 是整数，以求除数，d 是可能的除数）：

• 确保n/d 没有余数。
• 确定是在除数上加 1 还是 2。

Answer 3

几厘米。

正如 Quincunx 所写，您只需要检查从 1..sqrt(n) 开始的整数范围，这将转化为类似 for i in xrange(1, sqrt(n) + 1): ... 的内容。仅此优化就可以大大加快速度。

您可以使用三角形数公式（我直到现在才知道，谢谢 Quincunx），或者您可以使用另一种方法来查找三角形数，而不是递归和字典查找。您只需要序列中的下一个数字，因此保存它没有意义。函数调用在 Python 中涉及大量开销，因此通常不建议将递归用于数字运算。另外，为什么要投到float，我不太明白？

我看到您已经在使用xrange 而不是range 来构建int 流。我假设您知道xrange 更快，因为它是作为生成器函数实现的。你也可以那样做。这也让事情变得更加顺利。

我已经尝试这样做了，使用生成器，下面的代码在我的机器 (YMMV) 上找到了大约 16 秒内的第 500 个三角形数。但我还使用了一个巧妙的技巧来找到除数，即quadratic sieve。

这是我的代码：

def triangle_num_generator():
    """ return the next triangle number on each call
        Nth triangle number is defined as SUM([1...N]) """
    n = 1
    s = 0
    while 1:
        s += n
        n += 1
        yield s


def triangle_num_naive(n):
    """ return the nth triangle number using the triangle generator """
    tgen = triangle_num_generator()
    ret = 0
    for i in range(n):
        ret = tgen.next()
    return ret

def divisor_gen(n):
    """ finds divisors by using a quadrativ sieve """
    divisors = []
    # search from 1..sqrt(n)
    for i in xrange(1, int(n**0.5) + 1):
        if n % i is 0:
            yield i
            if i is not n / i:
                divisors.insert(0, n / i)
    for div in divisors:
        yield div


def divisors(n):
    return [d for d in divisor_gen(n)]


num_divs = 0
i = 1
while num_divs < 500:
    i += 1
    tnum = triangle_num_naive(i)
    divs = divisors(tnum)
    num_divs = len(divs)

print tnum # 76576500

在我简陋的机器上运行它会产生以下输出：

morten@laptop:~/documents/project_euler$ time python pr012.py 
76576500

real    0m16.584s
user    0m16.521s
sys     0m0.016s

使用三角形公式代替幼稚的方法：

real    0m3.437s
user    0m3.424s
sys     0m0.000s

Answer 4

我为同一任务编写了代码。它相当快。我使用了一种非常快速的因子查找算法来查找数字的因子。我还使用(n^2 + n)/2 来查找三角形数字。代码如下：

from functools import reduce
import time
start = time.time()
n = 1
list_divs = []
while len(list_divs) < 500:
    tri_n = (n*n+n)/2 # Generates the triangle number T(n)
    list_divs = list(set(reduce(list.__add__,([i, int(tri_n//i)] for i in range(1, int(pow(tri_n, 0.5) + 1)) if tri_n % i == 0)))) # this is the factor generator for any number n
    n+=1
print(tri_n, time.time() - start)

它在一台正常的计算机上在 15 秒内完成工作。

Answer 5

这是该问题的另一种解决方案。在此，我使用 Eratosthenes 的筛子找到素数，然后进行素数分解。 应用以下公式计算一个数的因数： 因子总数=(n+1)*(m+1).....

其中数字=2^n*3^n.......

我的最佳时间是 1.9 秒。

from time import time
t=time()

a=[0]*100
c=0
for i in range(2,100):
    if a[i]==0:
        for j in range(i*i,100,i):
            continue
        a[c]=i
        c=c+1
print(a)

n=1
ctr=0
while(ctr<=1000):
    ctr=1
    triang=n*(n+1)/2
    x=triang
    i=0
    n=n+1
    while(a[i]<=x):
        b=1
        while(x%a[i]==0):
            b=b+1
            x=x//a[i];
        i=i+1
        ctr=ctr*b
print(triang)
print("took time",time()-t)

Answer 6

这是我的答案，大约 3 秒即可解决。我认为可以通过跟踪除数或生成用作除数的素数列表来加快速度……但 3 秒对我来说已经足够快了。

import time

def numdivisors(triangle):
  factors = 0
  for i in range(1, int((triangle ** 0.5)) + 1):
    if triangle % i == 0:
      factors += 1
  return factors * 2

def maxtriangledivisors(max):
  i = 1
  triangle = 0
  while i > 0:
    triangle += i
    if numdivisors(triangle) >= max:
      print 'it was found number', triangle,'triangle', i, 'with total of ', numdivisors(triangle), 'factors'
      return triangle
    i += 1

startTime=time.time()
maxtriangledivisors(500)
print(time.time()-startTime)