如何在Matlab中获得具有特定归一化条件的特征值和特征向量答案

【问题标题】：How to get the eigenvalues and eigenvectors with particular normalization condition in Matlab如何在Matlab中获得具有特定归一化条件的特征值和特征向量
【发布时间】：2016-09-21 00:14:28
【问题描述】：

当我想计算一个复杂的 4*4 矩阵 M 的特征值和特征向量时，我有一个问题。举个例子：

[7.71 0.88 -0.47i 0.11i;

0.88 19.09 0.11i -0.02i;

-0.47i 0.11i -7.71 -0.88;

0.11i -0.02i -0.88 -3.44.]

有点像，M*V=D*V, 这里V = [a1, a2, i *b1, i *b2]，D 是特征值。 a1,a2,b1,b2 是实数，i 是虚数。

如果我们直接从 MATLAB 中使用命令 eig(M)，它会给出带有 norm(V)=sqrt(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2)=1 的特征值

但现在我需要条件为a1^2+a2^2+(i *b1)^2+(i *b2)^2=1 而不是norm(V)=1 的特征值

如果有人得到提示，请发表评论。非常感谢。

最好的问候，迈克

【问题讨论】：

在您的示例中，a1, a2, i *b1, i *b2 似乎是特征向量之一的元素。对于范数的计算，需要采用 abs 所以 norm(V)=sqrt(abs(a1)^2+abs(a2)^2+abs(b1)^2+abs(b2)^2)=1 ;是正确的。请在问题中添加 M 矩阵。并详细说明和解释您想要做什么。
嗨 rahnema1，如果我使用 eig 计算，它会自动将特征向量归一化为 norm(V)=1。但现在我想用特征向量的新归一化来计算。
答案已更新！

标签： matlab eigenvalue eigenvector

【解决方案1】：

解决方案的第一部分需要符号工具箱。因为我手头没有符号工具箱，所以我提供 Maxima 的解决方案：

你有 4 个复数组成一个特征向量：

A: a1 + %i * a2;
B: b1 + %i * b2;
C: c1 + %i * c2;
D: d1 + %i * d2;

%i 符号代表虚数单位。向量的范数 2 为：

sqrt(cabs(A) ^ 2 + cabs(B) ^ 2 + cabs(C) ^ 2 + cabs(D) ^ 2).

这里的cabs 表示复杂的abs。所以我们寻找一个数字v，这样如果我们将向量的元素除以它，得到的向量就有这个属性：

(cabs(A / v) ^ 2 + cabs(B / v) ^ 2 + (%i * cabs(C / v)) ^ 2 + (%i * cabs(D / v)) ^ 2) = 1;

我们可以解出v 的方程：

A: a1 + %i * a2;
B: b1 + %i * b2;
C: c1 + %i * c2;
D: d1 + %i * d2;
eq: (cabs(A / v) ^ 2 + cabs(B / v) ^ 2 + (%i * cabs(C / v)) ^ 2 + (%i * cabs(D / v)) ^ 2) - 1;
solve(eq , v);

结果：

v = sqrt([a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + b1 ^ 2 + b2 ^ 2 - c1 ^ 2 - c2 ^ 2 - d1 ^ 2 - d2 ^ 2 ] )
  =sqrt (cabs(A) ^ 2 + cabs(B) ^ 2 - cabs(C) ^ 2 - cabs(D) ^ 2)

用于归一化特征向量的Matlab代码：

M=[...

7.71 0.88 -0.47i 0.11i;

0.88 19.09 0.11i -0.02i;

-0.47i 0.11i -7.71 -0.88;

0.11i -0.02i -0.88 -3.44];

% with nobalance eigenvector do not necessarily normalized
[VEC, D] = eig(M, 'nobalance');
ABS2 = abs(VEC).^2;
ABS2(3:4,:) = -ABS2(3:4,:);
v = sqrt(sum(ABS2,1));
VEC = bsxfun(@rdivide,VEC, v)

【讨论】：