用`lsqcurvefit`拟合高斯时初始点的局部最小值

Question

我正在编写 MATLAB 代码，目的是进行一些拟合。我使用二阶高斯（参见下面的代码）模拟了一个绘图，并尝试使用 lsqcurvefit 函数进行拟合。不幸的是，MATLAB 返回与“优化”参数相同的猜测值，并且显然陷入了局部最小值。

有人可以就这里可能出现的问题提供一些建议吗？我知道如果猜测远离“真实”值，那么这可能会发生，但我希望 MATLAB 返回一个更接近真实值的答案。将初始猜测改进为[29,0]（更接近实际值）会得到相同的输出：初始值是局部最小值。

%%%%%%%%%%

function z= testfunction(x, xdata);

sigma=x(1)/(2*sqrt(2*log(2)));

z=((xdata.^2-2*x(2)*xdata-sigma.^2+x(2)^2)./(sigma^5*sqrt(2*pi))).*exp(-(xdata-x(2)).^2/(2.*sigma.^2));

end
%%%%%%%%


% Simulate Data

xdata= -50:1:50;

ydata = testfunction([30,0],xdata);

% Fit Data 

xfit = lsqcurvefit(@testfunction,[19,-4],xdata, ydata );

xfit(1)
xfit(2)

yfit=testfunction([xfit(1),xfit(2)],xdata);

% Plot Data;
plot(xdata,yfit);
hold on;
plot(xdata,ydata,'o')

输出：

Initial point is a local minimum.

Optimization completed because the size of the gradient at the initial point 
is less than the default value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>


ans =

    19


ans =

    -4

Answer 1

简答：检查停止条件详情并相应更改停止条件：

options = optimoptions('lsqcurvefit','OptimalityTolerance', 1e-16, 'FunctionTolerance', 1e-16);
xfit = lsqcurvefit(@testfunction,[19,-4],xdata, ydata, [], [], options);

有什么问题？

lsqcurvefit 是一个数值求解器，因此使用停止标准来确定是否充分达到了局部最小值。通常，您永远无法找到确切的解决方案。因此，您的问题的解决方案是更改停止条件以请求更准确的解决方案。

如何解决？

通过点击停止条件详细信息，您会收到以下说明：

优化完成：终点为起点。这 一阶最优性度量，7.254593e-07，小于 options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06.

Optimization Metric                                       Options 
relative first-order optimality =   7.25e-07  OptimalityTolerance =   1e-06 (default)

所以，你应该减少OptimalityTolerance（例如到1e-16）：

options = optimoptions('lsqcurvefit','OptimalityTolerance', 1e-16);
xfit = lsqcurvefit(@testfunction,[19,-4],xdata, ydata, [], [], options);

上图可视化了新的结果，比上一张要好，但还不是很好。通过再次检查停止条件，您会发现您还需要更改FunctionTolerance：

options = optimoptions('lsqcurvefit','OptimalityTolerance', 1e-16, 'FunctionTolerance', 1e-16);

为什么默认选项那么糟糕？

请注意，您需要调整停止条件，因为您的函数返回的值相对较小。将z 与1000 相乘，没有任何选项说明也会得到很好的拟合：