为什么在计算 z 分数时将样本标准差除以 sqrt（样本大小）

Question

我一直在关注可汗学院的视频以了解假设检验，我必须承认，到目前为止我的所有理解都是基于该来源。 现在，以下视频讨论了 z 分数/假设检验：

Hypothesis Testing

Z-statistic vs T-statistic

现在，我的疑问是关于 z 分数中的分母：

1. 对于 z 分数公式，即：z = (x – μ) / σ， 当总体的标准偏差 (σ) 已知时，我们直接使用它。 但是当它未知时，我们使用抽样分布， 那么我们有 z = (x – μ) / (σ / √n)；我们用 σ_s 估计 σ；其中σ_s是样本的标准差，n是样本大小。

那么 z 得分 = (x – μ) / (σ_s / √n)。当 σ_s 已知时，为什么要除以 √n？ 即使在视频中，假设检验 - Sal 也将样本的标准差除以 √n。直接给出σ_s，我们为什么要这样做？

请帮助我理解。

1. 我尝试将此应用于以下问题，但遇到以下问题：

问题：Yardley 设计了新香水。 Yardley 公司声称，平均新 香水瓶可以使用 300 天。另一家公司随机抽取35个新香水瓶 亚德利进行测试。采样瓶的平均使用时间为 190 天，其中 50天的标准差。如果亚德利的说法是真的， 35 个随机选择的瓶子的平均概率是多少 寿命不超过 190 天？

所以，上面的问题，当我执行以下操作时：

z = (190-300)/(50/√35)，我们得到 z = -13.05，这不是一个可能的分数，因为 z 分数应该在 +-3 之间。

当我这样做时，z = (190-110)/50，或者更确切地说是 z = (x – μ) / σ，我似乎在这里得到了一个可以接受的答案。

请帮我弄清楚我错过了什么。

Answer 1

我认为 1/\sqrt{n} 的起源仅仅是计算单个瓶子寿命的标准偏差，还是一组瓶子的（样本）平均值的标准偏差。

问题表明 50 天是 35 瓶一组的寿命的标准差。这意味着估计的平均年龄（190 天）将有大约 50/\sqrt{35} 天的误差范围。假设这一类似的误差范围适用于声称的 300 天使用寿命，则可以使用互补误差函数计算出一组 35 瓶瓶子的使用寿命为 190 天或更短的概率。

您的 z=-13.05 看起来很正确，这意味着声称的 300 天寿命与 35 瓶实验中看到的一致是极不可能的。