单变量最小二乘回归中的多重 R 平方和调整 R 平方有什么区别？

Question

谁能解释一下Multiple R-squared 和Adjusted R-squared 之间的区别是什么？我正在做如下单变量回归分析：

 v.lm <- lm(epm ~ n_days, data=v)
 print(summary(v.lm))

结果：

Call:
lm(formula = epm ~ n_days, data = v)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-693.59 -325.79   53.34  302.46  964.95 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  2550.39      92.15  27.677   <2e-16 ***
n_days        -13.12       5.39  -2.433   0.0216 *  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 410.1 on 28 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.1746,     Adjusted R-squared: 0.1451 
F-statistic: 5.921 on 1 and 28 DF,  p-value: 0.0216 

Answer 1

调整后的R平方中的“调整”与变量的数量和观察的数量有关。

如果您不断向模型中添加变量（预测变量），R 平方会有所改善 - 也就是说，预测变量似乎可以解释方差 - 但其中一些改善可能仅是由于偶然性。因此，调整后的 R 平方试图通过考虑比率 (N-1)/(N-k-1) 来纠正这一点，其中 N = 观察数，k = 变量数（预测变量）。

在您的情况下，这可能不是问题，因为您只有一个变量。

一些参考资料：

1. How high, R-squared?
2. Goodness of fit statistics
3. Multiple regression
4. Re: What is "Adjusted R^2" in Multiple Regression

Answer 2

R 平方不依赖于模型中的变量数量。调整后的 R 平方为。

调整后的 R 平方增加了向模型添加与您试图解释的变量不相关的变量的惩罚。您可以使用它来测试变量是否与您要解释的内容相关。

Adjusted R-squared 是 R-squared 添加了一些除法以使其取决于模型中变量的数量。

Answer 3

调整后的 R 平方接近但不同于 R2 的值。它不是基于解释的平方和 SSR 和总平方和 SSY，而是基于总体方差（我们通常不计算的量），s2T = SSY/(n - 1) 和误差方差 MSE （来自 ANOVA 表）并计算如下：调整后的 R 平方 = (s2T - MSE) / s2T。

这种方法通过添加解释变量为判断拟合的改进提供了更好的基础，但它没有 R2 所具有的简单概括解释。

如果我没记错的话，你应该验证调整后的 R-squared 和 R-squared 的值如下：

s2T <- sum(anova(v.lm)[[2]]) / sum(anova(v.lm)[[1]])
MSE <- anova(v.lm)[[3]][2]
adj.R2 <- (s2T - MSE) / s2T

另一方面，R2 为：SSR/SSY，其中 SSR = SSY - SSE

attach(v)
SSE <- deviance(v.lm) # or SSE <- sum((epm - predict(v.lm,list(n_days)))^2)
SSY <- deviance(lm(epm ~ 1)) # or SSY <- sum((epm-mean(epm))^2)
SSR <- (SSY - SSE) # or SSR <- sum((predict(v.lm,list(n_days)) - mean(epm))^2)
R2 <- SSR / SSY 

Answer 4

请注意，除了预测变量的数量外，上述调整后的 R 平方公式还会根据样本量进行调整。一个小样本会给出一个看似大的 R 平方。

Ping Yin & Xitao Fan, J. of Experimental Education 69(2): 203-224，“Estimating R-squared shrinkage in multiple regression”，比较了不同的调整 r-squared 的方法，总结出常用的方法上面引用的不好。他们推荐 Olkin & Pratt 公式。

但是，我看到一些迹象表明，人口规模的影响比这些公式中的任何一个都大得多。我不相信这些公式中的任何一个都足以让您比较使用非常不同的样本大小（例如，2,000 与 200,000 个样本；标准公式几乎不会进行基于样本大小的调整）的回归。我会做一些交叉验证来检查每个样本的 r 平方。