`poly()` 如何生成正交多项式？如何理解返回的“coefs”？答案

【问题标题】：How `poly()` generates orthogonal polynomials? How to understand the "coefs" returned?`poly()` 如何生成正交多项式？如何理解返回的“coefs”？
【发布时间】：2016-12-26 03:36:25
【问题描述】：

我对正交多项式的理解是它们采用以下形式

y(x) = a1 + a2(x - c1) + a3(x - c2)(x - c3) + a4(x - c4)(x - c5)(x - c6).. . 不超过所需的词条数

其中 a1、a2 etc 是每个正交项的系数（因拟合而异），而 c1 , c2 etc 是正交项内的系数，确定这些项以保持正交性（在使用相同 x 值的拟合之间保持一致）

我了解poly() 用于拟合正交多项式。一个例子

x = c(1.160, 1.143, 1.126, 1.109, 1.079, 1.053, 1.040, 1.027, 1.015, 1.004, 0.994, 0.985, 0.977) # abscissae not equally spaced

y = c(1.217395, 1.604360, 2.834947, 4.585687, 8.770932, 9.996260, 9.264800, 9.155079, 7.949278, 7.317690, 6.377519, 6.409620, 6.643426)

# construct the orthogonal polynomial
orth_poly <- poly(x, degree = 5)

# fit y to orthogonal polynomial
model <- lm(y ~ orth_poly)

我想同时提取系数a1、a2 etc，以及正交系数c1，c2 等。我不知道该怎么做。我的猜测是

model$coefficients

返回第一组系数，但我正在努力如何提取其他系数。也许在

attributes(orth_poly)$coefs

非常感谢。

【问题讨论】：

标签： r matrix regression linear-regression lm

【解决方案1】：

我刚刚意识到 2 年前有一个密切相关的问题Extracting orthogonal polynomial coefficients from R's poly() function?。那里的答案只是解释predict.poly 做了什么，但我的答案给出了一个完整的画面。

第 1 部分：poly 如何表示正交多项式

我对正交多项式的理解是它们采用以下形式

y(x) = a1 + a2(x - c1) + a3(x - c2)(x - c3) + a4(x - c4)(x - c5)(x - c6).. . 不超过所需的词条数

不不，没有这样干净的形式。 poly() 生成一元正交多项式，可以用以下递归算法表示。这就是predict.poly 生成线性预测矩阵的方式。令人惊讶的是，poly 本身并没有使用这种递归，而是使用了一种残酷的力量：正交跨度的普通多项式模型矩阵的 QR 分解。但是，这相当于递归。

第 2 节：poly() 的输出说明

让我们考虑一个例子。在您的帖子中使用x，

X <- poly(x, degree = 5)

#                 1           2           3            4           5
# [1,]  0.484259711  0.48436462  0.48074040  0.351250507  0.25411350
# [2,]  0.406027697  0.20038942 -0.06236564 -0.303377083 -0.46801416
# [3,]  0.327795682 -0.02660187 -0.34049024 -0.338222850 -0.11788140
# ...           ...          ...        ...          ...         ...
#[12,] -0.321069852  0.28705108 -0.15397819 -0.006975615  0.16978124
#[13,] -0.357884918  0.42236400 -0.40180712  0.398738364 -0.34115435
#attr(,"coefs")
#attr(,"coefs")$alpha
#[1] 1.054769 1.078794 1.063917 1.075700 1.063079
# 
#attr(,"coefs")$norm2
#[1] 1.000000e+00 1.300000e+01 4.722031e-02 1.028848e-04 2.550358e-07
#[6] 5.567156e-10 1.156628e-12

以下是这些属性的含义：

alpha[1] 给出x_bar = mean(x)，即中心；
alpha - alpha[1] 给出 alpha0, alpha1, ..., alpha4（alpha5 已计算但在 poly 返回 X 之前删除，因为它不会在 predict.poly 中使用）；
norm2 的第一个值始终为 1。倒数第二个是l0、l1、...、l5，给出了X 的平方列范数； l0 是删除的P0(x - x_bar) 的列平方范数，始终为n（即length(x)）；而第一个 1 只是被填充，以便递归在 predict.poly 内部进行。
beta0, beta1, beta2, ..., beta_5 不会返回，但可以通过 norm2[-1] / norm2[-length(norm2)] 计算。

第 3 部分：使用 QR 分解和递归算法实现 poly

如前所述，poly 不使用递归，而predict.poly 使用。就我个人而言，我不明白这种不一致设计背后的逻辑/原因。在这里，我将提供一个自己编写的函数my_poly，它使用递归来生成矩阵，如果QR = FALSE。当QR = TRUE 时，它是一个类似但不相同的实现poly。代码注释很好，有助于你理解这两种方法。

## return a model matrix for data `x`
my_poly <- function (x, degree = 1, QR = TRUE) {
  ## check feasibility
  if (length(unique(x)) < degree)
    stop("insufficient unique data points for specified degree!")
  ## centring covariates (so that `x` is orthogonal to intercept)
  centre <- mean(x)
  x <- x - centre
  if (QR) {
    ## QR factorization of design matrix of ordinary polynomial
    QR <- qr(outer(x, 0:degree, "^"))
    ## X <- qr.Q(QR) * rep(diag(QR$qr), each = length(x))
    ## i.e., column rescaling of Q factor by `diag(R)`
    ## also drop the intercept
    X <- qr.qy(QR, diag(diag(QR$qr), length(x), degree + 1))[, -1, drop = FALSE]
    ## now columns of `X` are orthorgonal to each other
    ## i.e., `crossprod(X)` is diagonal
    X2 <- X * X
    norm2 <- colSums(X * X)    ## squared L2 norm
    alpha <- drop(crossprod(X2, x)) / norm2
    beta <- norm2 / (c(length(x), norm2[-degree]))
    colnames(X) <- 1:degree
    } 
  else {
    beta <- alpha <- norm2 <- numeric(degree)
    ## repeat first polynomial `x` on all columns to initialize design matrix X
    X <- matrix(x, nrow = length(x), ncol = degree, dimnames = list(NULL, 1:degree))
    ## compute alpha[1] and beta[1]
    norm2[1] <- new_norm <- drop(crossprod(x))
    alpha[1] <- sum(x ^ 3) / new_norm
    beta[1] <- new_norm / length(x)
    if (degree > 1L) {
      old_norm <- new_norm
      ## second polynomial
      X[, 2] <- Xi <- (x - alpha[1]) * X[, 1] - beta[1]
      norm2[2] <- new_norm <- drop(crossprod(Xi))
      alpha[2] <- drop(crossprod(Xi * Xi, x)) / new_norm
      beta[2] <- new_norm / old_norm
      old_norm <- new_norm
      ## further polynomials obtained from recursion
      i <- 3
      while (i <= degree) {
        X[, i] <- Xi <- (x - alpha[i - 1]) * X[, i - 1] - beta[i - 1] * X[, i - 2]
        norm2[i] <- new_norm <- drop(crossprod(Xi))
        alpha[i] <- drop(crossprod(Xi * Xi, x)) / new_norm
        beta[i] <- new_norm / old_norm
        old_norm <- new_norm
        i <- i + 1
        }
      }
    }
  ## column rescaling so that `crossprod(X)` is an identity matrix
  scale <- sqrt(norm2)
  X <- X * rep(1 / scale, each = length(x))
  ## add attributes and return
  attr(X, "coefs") <- list(centre = centre, scale = scale, alpha = alpha[-degree], beta = beta[-degree])
  X
  }

第 4 节：my_poly 的输出说明

X <- my_poly(x, 5, FALSE)

生成的矩阵与poly 生成的矩阵相同，因此省略了。属性不一样。

#attr(,"coefs")
#attr(,"coefs")$centre
#[1] 1.054769

#attr(,"coefs")$scale
#[1] 2.173023e-01 1.014321e-02 5.050106e-04 2.359482e-05 1.075466e-06

#attr(,"coefs")$alpha
#[1] 0.024025005 0.009147498 0.020930616 0.008309835

#attr(,"coefs")$beta
#[1] 0.003632331 0.002178825 0.002478848 0.002182892

my_poly返回构造信息更明显：

centre 给x_bar = mean(x);
scale 给出列范数（norm2 的平方根由 poly 返回）；
alpha 给 alpha1, alpha2, alpha3, alpha4;
beta 给出beta1、beta2、beta3、beta4。

第 5 部分：my_poly 的预测例程

由于my_poly返回不同的属性，stats:::predict.poly与my_poly不兼容。这是适当的例程my_predict_poly：

## return a linear predictor matrix, given a model matrix `X` and new data `x`
my_predict_poly <- function (X, x) {
  ## extract construction info
  coefs <- attr(X, "coefs")
  centre <- coefs$centre
  alpha <- coefs$alpha
  beta <- coefs$beta
  degree <- ncol(X)
  ## centring `x`
  x <- x - coefs$centre
  ## repeat first polynomial `x` on all columns to initialize design matrix X
  X <- matrix(x, length(x), degree, dimnames = list(NULL, 1:degree))
  if (degree > 1L) {
    ## second polynomial
    X[, 2] <- (x - alpha[1]) * X[, 1] - beta[1]
    ## further polynomials obtained from recursion
    i <- 3
    while (i <= degree) {
      X[, i] <- (x - alpha[i - 1]) * X[, i - 1] - beta[i - 1] * X[, i - 2]
      i <- i + 1
      }
    }
  ## column rescaling so that `crossprod(X)` is an identity matrix
  X * rep(1 / coefs$scale, each = length(x))
  }

考虑一个例子：

set.seed(0); x1 <- runif(5, min(x), max(x))

和

stats:::predict.poly(poly(x, 5), x1)
my_predict_poly(my_poly(x, 5, FALSE), x1)

给出完全相同的结果预测矩阵：

#               1          2           3          4          5
#[1,]  0.39726381  0.1721267 -0.10562568 -0.3312680 -0.4587345
#[2,] -0.13428822 -0.2050351  0.28374304 -0.0858400 -0.2202396
#[3,] -0.04450277 -0.3259792  0.16493099  0.2393501 -0.2634766
#[4,]  0.12454047 -0.3499992 -0.24270235  0.3411163  0.3891214
#[5,]  0.40695739  0.2034296 -0.05758283 -0.2999763 -0.4682834

请注意，预测例程仅采用现有的构造信息，而不是重构多项式。

第 6 部分：将 poly 和 predict.poly 视为黑匣子

很少需要了解里面的一切。对于统计建模，知道poly 为模型拟合构建多项式基础就足够了，其系数可以在lmObject$coefficients 中找到。在进行预测时，predict.poly 永远不需要用户调用，因为predict.lm 会为你做这件事。这样一来，把poly和predict.poly当成黑匣子就完全没问题了。

【讨论】：

感谢@ZheyuanLi 对一个比最初想到的更复杂的问题的示例性回答，特别是对答案进行分段并提供您自己的功能。我必须承认我对所使用的方法有点困惑，但了解一般目的。我对正交多项式形式的（显然是初步的）理解取自数据缩减教科书（Bevington & Robinson 2003, pg. 128, eq. 7.28）。我假设poly 的输出与此直接相关，但我不知道poly 适合它们的不同方式。再次感谢！
为@ZheyuanLi 的精彩回答鼓掌。如果有兴趣，可以在以下位置发布一些相关的帖子：stackoverflow.com/questions/31457230/…
在第 1 节的第 4 步中，(x-a) 项中的 x 未居中。在弄清楚这一点之前花了一个小时的强烈挫败感。
这是一个很好的答案，谢谢。如果我可以问，第 1 部分中的图片的来源是什么？