是否可以只保存对称矩阵的一半来节省内存？

Question

Ax=b 类型问题中使用了一个大矩阵。 A 是对称的。有什么算法可以让我们只保存一半的矩阵，然后在上面做x=A\b这样的操作吗？

Answer 1

您只会节省一半的内存，但您可以通过创建矩阵的平面版本来做到这一点，将其保存，然后将其展开。请注意，所需的额外时间可能并不值得节省：

% pretend this is symettric...
A = rand(10, 10);

% store it as a flat list
flatA = [];
for k = 1:size(A,1)
    flatA = [flatA; A([1:k],k)];
end

save('flatA.mat', 'flatA');

% undo
N = (-1 + (1+4*2*length(flatA))^0.5)/2;
newA = NaN(N,N); 
cur = 1;
for k = 1:N
    len = k;
    newA(1:len, k) = flatA(cur:cur+len-1);
    cur = cur + len;
end
% real A cannot have NaNs or this trick fails
newA(isnan(newA)) = newA(isnan(newA'))';

Answer 2

如果提取上三角部分并转换为稀疏矩阵，应该可以节省内存。这种技术相当快。

% Create a symmetric matrix
A = rand(1000);
A = A + A';

% Extract the upper triangular part
B = sparse(triu(A))              % This is the important line, the rest is just checking.

% Undo
BB = full(B);
C = BB + BB' - diag(diag(BB));

% Check correct
assert(all(A(:) == C(:)));

% Save matrices
save('A.mat', 'A');
save('B.mat', 'B');

% Get file sizes
infoA = dir('A.mat'); infoA.bytes
infoB = dir('B.mat'); infoB.bytes

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编辑以澄清木片的事情

上述解决方案演示了一种使用较少文件空间保存矩阵的方法。矩阵B 也比原始矩阵A 占用更少的内存。如果你想对B 进行线性代数运算，那效果很好。比较

b = rand(1000);
fullTriUA = triu(A);
sparseTriUA = sparse(fullTriUA);  %same as B above
fullResult = fullTriUA\b;
sparseResult = sparseTriUA\b;
assert(all(fullResult(:) == sparseResult(:)))

Answer 3

这是一个想法，但我还没有测试过。如果您的对称矩阵是正定的，请对对称矩阵 A 进行 Cholesky 分解，得到 A = U*U'。如果您使用 MATLAB 的内置稀疏矩阵将 U 存储为稀疏矩阵，则您拥有所需的一切，并且使用了大约一半的内存。由于它使用了 MATLAB 的稀疏矩阵类型，因此您已经使用标准 MATLAB 函数对其进行了操作，只要您记住 A = U*U'

例如，要计算 A*x = b，请使用 x = U'\U\b。与其他提议的解决方案不同，MATLAB 永远不会在内部实际使用完整矩阵，甚至会使用加速求解器，这将利用您仅使用三角形求解的事实。代价是要解决单个系统，您实际上已经运行了两次反斜杠运算符（见上文）。然而，这就是您从不实例化整个矩阵所付出的代价。