从大小为 n 的整数的未排序数组构造二叉搜索树

Question

我对此的思考过程是这个算法是不正确的。要从大小为 n 的未排序整数数组创建二叉树，首先需要对数组进行排序。我们知道任何基于比较的排序算法都有一个 omega(nlog(n)) 的下限运行时间，因为我们没有比这更好的了。

数组排序后，我们需要一种方法来正确创建 BST。 （按顺序查看键/节点必须以递增/排序的方式）我们查看数组的中间元素并将其作为树的根。然后我们在数组的左半部分递归地执行此操作，构造左子树，并使其成为根的左子树。我们还在数组的右半部分递归地执行此操作，构造右子树，并使其成为根的右子树。由于递归关系，其运行时间为 O(n)：T(n) = 2T(n/2) + c。这是在我们上面的排序之后发生的，所以总运行时间是 O(nlog(n) + n) 这只是 O(nlog(n))。这表明我们没有比这更好的方法了。

有什么我可以添加的吗？或者这是否足够？有人有其他建议/想法吗？谢谢。

Answer 1

您假设要创建二叉树，您首先需要对整数进行排序作为第一步。由于这是一个不合理的假设，因此您的证明无效。

要正确证明结果，您需要假设您可以在 nloglogn 比较中创建 BST，并由此证明矛盾。矛盾是立竿见影的，因为从 BST 你可以在线性时间（从树的中序遍历）得到一个排序的整数列表，所以你会有一个 nloglogn 比较排序。

这个证明可能是提出问题的人的意图，但我认为问题的前提是错误的。正如您所介绍的那样，该问题并未指定对给定整数的唯一操作是比较，因此 X 教授的算法可能使二叉搜索树具有非比较操作。那么就不会有矛盾了，因为它可以用来对整数进行排序，但 不是 是比较排序。例如，融合树可用于在小于 O(n log n) 的算术运算中对 n 个整数进行排序（请参阅https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022000093900404）。