计算大 n 和 k 的二项式系数 (nCk)

Question

我刚看到这个问题，不知道如何解决。你能给我提供算法、C++代码或想法吗？

这是一个非常简单的问题。给定 N 和 K 的值，您需要告诉我们二项式系数 C(N,K) 的值。您可以放心，K

输入的第一行包含测试用例的数量 T，最多 1000 个。接下来的 T 行中的每一行由两个空格分隔的整数 N 和 K 组成，其中 0

对于每个测试用例，在新行上打印二项式系数 C(N,K) 模 1009 的值。 示例

输入：
3
3 1
5 2
10 3

输出：
3
10
120

Answer 1

注意 1009 是素数。

现在您可以使用Lucas' Theorem。

其中规定：

Let p be a prime.
If n  = a1a2...ar when written in base p and
if k  = b1b2...br when written in base p

(pad with zeroes if required)

Then

(n choose k) modulo p = (a1 choose b1) * (a2 choose  b2) * ... * (ar choose br) modulo p.

i.e. remainder of n choose k when divided by p is same as the remainder of
the product (a1 choose b1) * .... * (ar choose br) when divided by p.
Note: if bi > ai then ai choose bi is 0.

因此，您的问题被简化为找到最多 log N/log 1009 个数字（以 1009 为基数的 N 的位数）的乘积模 1009，形式为 a 选择 b，其中 a

即使 N 接近 10^15，这也应该会更容易。

注意：

对于N=10^15，N选N/2大于 2^(1000000000000000) 这是方式 超出 unsigned long long。

另外，建议的算法 卢卡斯定理是 O(log N)，即 exponentially 比尝试更快 计算二项式系数 直接（即使你做了一个 mod 1009 处理溢出问题）。

这是我很久以前写的一些 Binomial 的代码，你需要做的就是修改它来做模 1009 的操作（可能有错误，不一定推荐的编码风格）：

class Binomial
{
public:
    Binomial(int Max)
    {
        max = Max+1;
        table = new unsigned int * [max]();
        for (int i=0; i < max; i++)
        {
            table[i] = new unsigned int[max]();

            for (int j = 0; j < max; j++)
            {
                table[i][j] = 0;
            }
        }
    }

    ~Binomial()
    {
        for (int i =0; i < max; i++)
        {
            delete table[i];
        }
        delete table;
    }

    unsigned int Choose(unsigned int n, unsigned int k);

private:
    bool Contains(unsigned int n, unsigned int k);

    int max;
    unsigned int **table;
};

unsigned int Binomial::Choose(unsigned int n, unsigned int k)
{
    if (n < k) return 0;
    if (k == 0 || n==1 ) return 1;
    if (n==2 && k==1) return 2;
    if (n==2 && k==2) return 1;
    if (n==k) return 1;


    if (Contains(n,k))
    {
        return table[n][k];
    }
    table[n][k] = Choose(n-1,k) + Choose(n-1,k-1);
    return table[n][k];
}

bool Binomial::Contains(unsigned int n, unsigned int k)
{
    if (table[n][k] == 0) 
    {
        return false;
    }
    return true;
}

Answer 2

二项式系数是一个因子除以其他两个因子，尽管底部的 k! 项以明显的方式取消。

请注意，如果 1009（包括它的倍数）在分子中出现的次数多于分母，则答案 mod 1009 为 0。它在分母中出现的次数不能多于分子（因为二项式系数是整数），因此您必须做任何事情的唯一情况是它在两者中出现的次数相同。不要忘记将 (1009)^2 的倍数计算为 2，依此类推。

在那之后，我认为您只是在清理小案例（意味着要乘/除的值很少），尽管如果没有一些测试我不确定。从好的方面来说，1009 是素数，所以算术模 1009 发生在一个字段中，这意味着在从顶部和底部都取出 1009 的倍数之后，您可以按任何顺序进行其余的乘法和除法模 1009。

如果还存在非小情况，它们仍将涉及将长连续整数相乘。这可以通过了解1008! (mod 1009) 来简化。它是 -1（如果您愿意，可以是 1008），因为 1 ... 1008 是 p 上的素数字段的 p-1 非零元素。因此，它们由 1、-1 和 (p-3)/2 对乘法逆元组成。

因此，例如考虑 C((1009^3), 200) 的情况。

假设 1009 的数量相等（不知道是否相等，因为我还没有编写公式来找出答案），所以这是一个需要工作的案例。

在顶部，我们有 201 ... 1008，我们必须计算或在预先计算的表中查找，然后是 1009，然后是 1010 ... 2017、2018、2019 ... 3026、3027 等. ... 范围都是-1，所以我们只需要知道有多少这样的范围。

剩下 1009、2018、3027，一旦我们用底部的 1009 取消它们，它们将只有 1、2、3、... 1008、1010、...，再加上 1009^2 的倍数，我们将再次取消它并留下连续的整数来相乘。

我们可以对底部做一些非常相似的事情来计算“1 ... 1009^3 - 200 与 1009 的所有幂相除”的乘积 mod 1009。这给我们留下了一个主要领域的分裂。 IIRC 原则上很棘手，但 1009 是一个足够小的数字，我们可以管理其中的 1000 个（测试用例数量的上限）。

当然，在 k=200 的情况下，会有一个巨大的重叠，可以更直接地取消。这就是我所说的小案例和非小案例：我把它当作一个非小案例来对待，而实际上我们可以通过计算((1009^3-199) * ... * 1009^3) / 200!

Answer 3

我不认为你想计算 C(n,k) 然后减少 mod 1009。最大的一个，C(1e15,5e14) 需要大约 1e16 位 ~ 1000 TB

此外，在 snakiles 中执行循环 1e15 次似乎可能需要一段时间。 你可能会使用的是，如果

n = n0 + n1*p + n2*p^2 ... + nd*p^d

m = m0 + m1*p + m2*p^2 ... + md*p^d

（其中 0

那么 C(n,m) = C(n0,m0) * C(n1,m1) *... * C(nd, nd) mod p

见，例如http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/paper/binomial/html/binomial.html

一种方法是使用帕斯卡三角形为 0

Answer 4

计算nCk的伪代码：

result = 1    
for i=1 to min{K,N-K}:
   result *= N-i+1
   result /= i
return result

时间复杂度：O(min{K,N-K})

循环转到from i=1 to min{K,N-K} 而不是from i=1 to K，这没关系，因为

C(k,n) = C(k, n-k)

如果你使用 GammaLn 函数，你可以更有效地计算。

nCk = exp(GammaLn(n+1)-GammaLn(k+1)-GammaLn(n-k+1))

GammaLn 函数是Gamma function 的自然对数。我知道有一种有效的算法可以计算 GammaLn 函数，但该算法一点也不简单。

Answer 5

以下代码显示了如何获取给定大小“n”的所有二项式系数。您可以轻松地将其修改为在给定的 k 处停止以确定 nCk。它的计算效率非常高，编码简单，适用于非常大的 n 和 k。

binomial_coefficient = 1
output(binomial_coefficient)
col = 0
n = 5

do while col < n
    binomial_coefficient = binomial_coefficient * (n + 1 - (col + 1)) / (col + 1)
    output(binomial_coefficient)
    col = col + 1
loop

因此二项式系数的输出为：

1
1 *  (5 + 1 - (0 + 1)) / (0 + 1) = 5 
5 *  (5 + 1 - (1 + 1)) / (1 + 1) = 15
15 * (5 + 1 - (2 + 1)) / (2 + 1) = 15 
15 * (5 + 1 - (3 + 1)) / (3 + 1) = 5 
5 *  (5 + 1 - (4 + 1)) / (4 + 1) = 1

我曾在维基百科上找到过这个公式，但由于某种原因它不再存在了:(