计算 1 <= k <= N 的 phi(k) 之和？答案

【问题标题】：Calculating the sum of phi(k) for 1 <= k <= N?计算 1 <= k <= N 的 phi(k) 之和？
【发布时间】：2015-06-10 02:27:28
【问题描述】：

我需要计算 1 StackOverflow question 解决了它，它要求计算 phi(k) 的每个值，因为 1

【问题讨论】：

您应该在Other formulae involving phi 上查看欧拉模型的属性。例如，偶数/奇数属性看起来可以帮助重用 phi(k) 来计算 phi(2*k)。
我在math.stackexchange 上回答了如何在 O(n^(2/3)) 和更通用的变体中计算这个。

标签： algorithm

【解决方案1】：

Wikipedia page on Euler's totient function 包含一个由 Arnold Wafisz 提供的公式，用于计算从 1 到 n 的 k 的 φ(k) 之和：

sum(1<=k<=n) φ(k) = (1 + sum(1<=k<=n) μ(k)*(floor(n/k))^2) / 2

（在维基百科上阅读要容易得多。）

Möbius functionμ(k) 如果 k 有任何平方素因数，则为 0，否则为 (-1)^{f em>} 其中 f 是 k 中唯一素因子的数量。（换句话说，如果 k 的素数分解有偶数个唯一素数，则为 1；如果有奇数个，则为 -1；如果某个素数出现多次，则为 0。）你应该能够使用改进的筛子来快速计算 μ(k)。

结果可能会快一些。

【讨论】：

我认为这个公式是一个非常好的方法。我相信您可以使用欧拉项目问题 73 的解决方案 pdf 中描述的方法在次线性时间 O(n^0.75) 内评估此公式。