在有向加权图中找到最短的顶点序列答案

【问题标题】：Finding shortest sequence of vertices in directed weighted graph在有向加权图中找到最短的顶点序列
【发布时间】：2015-04-11 11:36:52
【问题描述】：

假设我有顶点u 和v 以及一些数字n。

如何计算每两个顶点之间有一条边的最短顶点序列的长度（边权重之和）？

例如：

(u, e_1, u_2, e_2, ..., e_n, v)

序列以顶点u 开始，以顶点v 结束，并且具有n 边。

【问题讨论】：

是否允许重复？
@krjampani 是的，他们是

标签： algorithm graph graph-theory

【解决方案1】：

由于允许重复，这可以通过稍微改变 Bellman-Ford 算法在多项式时间内解决。令 OPT(v,i) 表示使用 i 条边到达 v 的最优成本，令 w(x,y) 表示顶点 x 和 y 之间的权重。那么我们就有如下的递归：

OPT(v, i+1) = min { OPT(u, i) + w(u,v) }，在所有边 (u,v) 上。

这可以在 O(nm) 中以自下而上的方式解决，其中 m 是边数。这是伪代码。

function computeShortestPath (u, v, n):
    foreach q in vertices:
        OPT[q][0] = inf;
    OPT[u][0] = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++):
        foreach q in vertices:
            OPT[q][i] = inf;
        foreach (p,q) in edges:
            OPT[q][i] = min(OPT[q][i], OPT[p][i-1] + w[p][q]);
    return OPT[v][n];

请注意，如果不允许重复，则问题是哈密顿路径问题的推广，即 NP-Hard。

【讨论】：

w(u, v) 是什么意思？ u 和 v 之间的边的权重？
是的，它代表重量。
我怎么知道我使用的正是 n 边（n 是给我的数字）？
根据定义，OPT(v, k) 表示使用恰好 k 个边从 u 到 v 的路径的最优成本。所以 OPT(v, n) 给你解决方案。
你必须计算所有顶点 q 和所有数字 i 直到 n 的 OPT(q, i)。为澄清添加伪代码。

【解决方案2】：

这可以通过动态规划来完成。我们首先用“n-1”解决每个节点的问题，从节点“u”开始，出边到“v”，然后解决方案是min(sum(sol(u,r),weight(r,v))) 这个算法是 O(n|vertices|)。

【讨论】：