查找从源到有向图中所有顶点的所有最短路径答案

【问题标题】：Finding all shortest paths from source to all vertices in a digraph查找从源到有向图中所有顶点的所有最短路径
【发布时间】：2013-10-25 15:20:25
【问题描述】：

我们得到了一个具有正边权重的有向图 G（可能带有循环），并且还给出了从源 s 到每个顶点 v 的最小距离 D[v]（D 是这样的数组）。问题是找到从 s 到 v 长度为 D[v] 的路径的数组 N[v] = number，线性时间。

现在这是一个我一直在努力解决的家庭作业问题。我正在按照以下想法工作：我试图通过适当地选择 G 的非循环子图来删除循环，然后尝试在子图中找到从 s 到 v 的最短路径。

但我无法明确地知道要做什么，所以我很感激任何帮助，比如关于做什么的定性想法。

【问题讨论】：

请注意，如果您添加限制“简单路径”，您可以通过发送D=[n,n,...,n] 来减少哈密顿路径问题。这是一个很好的直觉，通常问题本身也是 NPC，除非你错过了对图形结构的一些限制。
@amit, D[v] 是最短路径距离（从 s 到 v）而不是任意距离（并且是给定的）。
@SaeedAmiri 不确定我是否在关注。给出了最短距离，你要做的就是找出有多少条最短路径？
@amit，我猜是这样，因为我可以读到它是这样说的。（似乎只是一个计数问题）
@amit ：是的，所有顶点都给出了到 s 的最短距离。我们必须找到从 s 到 v 的最短路径的数量，但是对于每个 v。

标签： algorithm graph-algorithm shortest-path directed-graph

【解决方案1】：

你可以在这里使用dynamic programming的方法，并在你走的时候填写路径的数量，如果D[u] + w(u,v) = D[v]，类似：

N = [0,...,0]
N[s] = 1 //empty path
For each vertex v, in *ascending* order of `D[v]`:
   for each edge (u,v) such that D[u] < D[v]:
       if D[u] + w(u,v) = D[v]: //just found new shortest paths, using (u,v)!
           N[v] += N[u]

复杂度为O(VlogV + E)，假设图不是稀疏的，O(E) 占主导地位。

说明：

如果存在从v0 到v_k 的最短路径v0->v1->...->v_(k-1)->v_k，则v0->...->v_(k-1) 是从v0 到v_k-1 的最短路径，因此- 当迭代v_k - N[v_(k-1)] 时已经完全计算（请记住，所有边都有正权重，并且D[V_k-1] < D[v_k]，我们正在通过增加D[v] 的值进行迭代）。
因此，此时路径v0->...->v_(k-1)计入编号N[V_(k-1)]。
由于v0->...->v_(k-1)-v_k 是最短路径 - 这意味着D[v_(k-1)] + w(v_k-1,v_k) = D[v_k] - 因此条件成立，我们将把这条路径的计数添加到N[v_k]。

请注意，该算法的证明基本上是归纳，将更正式地遵循此解释中的指导方针。

【讨论】：

虽然这是一个优雅的解决方案，但如果它是一个稀疏图，它不会是非线性的吗？我也觉得可能会涉及到动态规划，但是需要严格的线性算法……
我在问题中提到的方法是否有任何寻找合适的子图等的方法？（在这个问题上工作了这么长时间后，我希望涉及这种方法的东西可能会起作用）
@UrysohnLemma 没有我能想到的，通常涉及查找子图的事情是一个难题（MST 显然是该声明的例外），但我不知道这里是否也是这种情况。
这在任何意义上都不是 O(n) （仅适用于非常稀疏的图）。（例如，当我询问输入是否已排序时，我正在考虑一种方法来摆脱 log n 因素）。
@SaeedAmiri 如果图不是稀疏的，它在输入的大小中是线性的，也就是图。 [请注意，OP 要求线性，而不是与 n 线性]