寻找最短路径的 Dijkstra 算法

Question

一个特定的州在其 V 个城市的集合中有一组 E 道路，其中从城市 u 到相邻城市 v 的道路经过的时间由 cuv 给出。 （注意 cuv 不一定等于 cvu——实际上可能没有从 v 到 u 的路。）暴风雪过后，有些道路无法通行，但州长需要尽快从 s 市开车到 t 市有时间只清理一条无法通行的道路。给出一个 O(E log V ) 算法，该算法确定要耕种的道路（仅一条），以实现从城市 s 到城市 t 的最短可能时间路径。输入是所有道路的列表、每条道路的值 cuv、s、t 和一组不可通行的道路。如果道路清理没有帮助，算法应该这样说。

我认为解决这个问题的最接近的方法是使用 Dijkstra 算法找到最短路径，但是，由于我们不知道哪条道路不可通行，哪条道路可以通过，Dijkstra 算法似乎不适合这个问题。那么，有没有其他算法能够检查每条边的状态并找到最短路径？对不起我的逻辑，我不太了解这个问题，任何回复或提示都会有所帮助，谢谢。

谁能解释我的问题与Shortest path between two vertices when exactly one edge weight can be reduced by 50%?的相似之处

Answer 1

我们将给定的图称为G(V, E)，其中E可以拆分为D + F，其中 D 表示可以通行的道路，F 表示不可通行的道路。

按照 cmets 中的建议，复制图表，这样您就有了 G(V,D) 和 G'(V',D')。对于任何给定的顶点 u ∈ V，都有一个“复制”顶点 u' ∈ V'。所以还有一个s'和一个t'。我们此时不包括 F 或 F'。

然后定义一组边F°为(u,v')，对于每条边(u,v) ∈ F .因此，F° 中的这些边是从 V 到 V' 的可通行 连接——仅在那个方向上。

我们称这个新图为 G°(V°, E°)，其中 V° = V + V', E° = D + D' + F° 和 F° 如上一段所定义。

现在解决G°中从s到{t, t'}的问题。由于从 V' 到 V 没有边，以 t' 结尾的解决方案路径将只使用一条边 (u, v') 来自 F°。请注意，如果通过比 t' 更短的路径到达 t，这意味着没有使用来自 F° 的边（不需要无法通行的道路被犁）。

在G°中寻找s和{t, t'}之间最短路径的问题现在是一个标准问题，可以用 Dijkstra 算法求解。还需要一件事：对于每个访问过的 w' ∈ V'，来自 F° 的边 (u,v') ——被越过到达那里 - 需要记录。这些信息应该只是传递给算法访问的下一个顶点，以便当 t' 最终找到时，可以立即给出答案，即边 (u,v' ).

本算法中访问的边数最多为|E°| = |D + D' + F°| ≤ 2|E| = O(|E|)。该算法只访问每条边一次，因此时间复杂度为O(|E|)。

Answer 2

您可以尝试如下解决这个问题：

您可以维护一个数组 dist[n][2]，其中 n 是顶点数。

dist[i][0] 表示到达 i 所需的最短时间，而无需清除任何积雪的道路

dist[i][1] 表示通过清除一条从源头到 i 的有雪的道路到达 i 所需的最短时间。

现在可以用来解决这个问题的数据结构是队列。该算法在下面提到。

1. Insert your source vertex into the queue and mark it as zero.          //marking 0 helps us to know that no roads has been cleared yet.
2. Do while queue is not empty
    2.1 Pop element from queue. Let it be x.
    2.2 For all the vertices i connected to x
        dist_without_clearing = dist[x][0] + cxi
        dist_with_clearing = dist[x][1] + cxi
        dist_with_clearing = min(dist_with_clearing,dist[x][0] + cxi)    // here only the roads that are covered with snow needs to be considered.
        if(dist_without_clearing < dist[i][0]) 
            insert(i,0) in queue
            dist[i][0] := dist_without_clearing
        endif
        if(dist_with_clearing < dist[i][1])
            insert(i,1) in queue.
            dist[i][1] := dist_with_clearing
        endif
3. Return min(dist[destination][0], dist[destination][1]) as your answer.