Dijkstra的最短路径算法优化

Question

我想首先说我的代码按预期工作，并且相当快。不管如何分析它，大部分时间都花在一个非常具体的部分上，这让我问：有没有普遍接受的更好的解决方案？

这是我的实现：

            var cellDistance = new double[cells.Count];
            cellDistance.SetAll(idx => idx == startCellIndex ? 0 : double.PositiveInfinity);

            var visitedCells = new HashSet<int>();

            do
            {
                // current cell is the smallest unvisited tentative distance cell 
                var currentCell = cells[cellDistance.Select((d, idx) => (d, idx)).OrderBy(x => x.d).First(x => !visitedCells.Contains(cells[x.idx].Index)).idx];

                foreach (var neighbourCell in currentCell.Neighbours)
                    if (!visitedCells.Contains(neighbourCell.Index))
                    {
                        var distanceThroughCurrentCell = cellDistance[currentCell.Index] + neighbourCell.Value;
                        if (cellDistance[neighbourCell.Index] > distanceThroughCurrentCell)
                        {
                            cellDistance[neighbourCell.Index] = distanceThroughCurrentCell;
                            prevCell[neighbourCell] = currentCell;
                        }
                    }

                visitedCells.Add(currentCell.Index);
            } while (visitedCells.Count != cells.Count && !visitedCells.Contains(endCell.Index));

大部分时间都花在了这一行上，它取的是未访问过的具有最低部分成本的节点：

var currentCell = cells[cellDistance.Select((d, idx) => (d, idx)).OrderBy(x => x.d).First(x => !visitedCells.Contains(cells[x.idx].Index)).idx];

更具体地说，在最后一个 lambda 中，不是那种（我觉得非常令人惊讶）：

x => !visitedCells.Contains(cells[x.idx].Index)

由于visitedCells 已经是HashSet，仅使用内置数据结构我无法改进，所以我的问题是：是否有不同的方式来存储部分成本，使其具体化查询（即具有最低部分成本的未访问节点）明显更快？

我正在考虑某种排序字典，但我需要一个按值排序的字典，因为如果它按键排序，我必须将部分成本设为键，这使得更新它的成本很高，然后构成关于我如何将此结构映射到我的成本数组的问题，这仍然不能解决我的visitedCells 查找问题。

Answer 1

使用标志数组代替 HashSet

HashSet 可以有 O(1) 的平均插入时间和预期查询时间。但是，由于您的节点 ID 只是数组中的索引，因此它们是连续的，并且不会增长太多。此外，您最终将拥有 HashSet 中的所有 id。在这种情况下，您拥有比使用“任何”通用哈希表更快的 O(1) 选项。您可以使用一个布尔数组来显示一个节点是否被访问，并使用节点 ID 对其进行索引。

只需分配一个大小等于节点数的布尔数组。填写false。访问新节点时，将节点 id 的值设置为true。

遍历所有节点而不是对它们进行排序以选择下一个节点

您当前的代码必须根据距离对所有节点进行排序，然后逐个遍历它们以找到第一个未访问的节点。由于排序，这在大多数情况下需要 θ(nlogn) 时间。 （可以进行优化以对节点进行部分排序，但如果编译器/库自己可以看到这个机会，那将是非常令人惊讶的。）使用这种方法，您的总时间复杂度变为 θ(n^2 * logn)。相反，您可以遍历节点一次，跟踪到目前为止看到的最小距离未访问节点。这适用于 θ(n)。总时间复杂度为 O(n^2)，正如 Dijkstra 应该的那样。

通过这两项更改，您的代码将没有多少 Dijkstra 最短路径不需要的内容。

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我正在考虑某种排序字典，但我需要 一个按值排序的，因为如果它按键排序，我必须 使部分成本成为关键，这使得更新它的成本很高，然后 提出了我如何将此结构映射到我的成本数组的问题

有一种称为 min-heap 的数据结构，可用于从集合（连同其卫星数据）中提取最小值。一个简单的二元最小堆可以提取最小密钥或减少它在 θ(logn) 最坏情况时间内持有的一些密钥。

在 Dijkstra 的情况下，您需要有一个稀疏图才能比迭代所有距离更有效（稀疏图 ≈ 边数远小于节点数的平方）。因为算法可能需要在每次松弛边缘时减少距离。

如果有 θ(n^2) 条边，这使得最坏情况的总时间复杂度为 θ(n^2 * logn)。

如果存在 θ(n^2 / logn) 边，则松弛时间变为 O(n^2)。然后，您需要一个比这个更稀疏的图，以使二叉堆比使用简单数组更有效。

在最坏的情况下，从堆中提取所有最小距离节点需要 θ(nlogn) 时间，放松所有边需要 θ(e * logn) 时间，其中 e 是边数，总时间为 θ((n +e）登录）。正如我所说，只有当 e 渐近小于 n^2 / logn 时，这才比 θ(n^2) 更有效。