最小生成树以最小化成本答案

【问题标题】：Minimum spanning tree to minimize cost最小生成树以最小化成本
【发布时间】：2015-10-11 07:48:52
【问题描述】：

有人可以帮我解决这个问题吗？

我们有一组 E 的道路、一组 H 的高速公路和一组 V 的不同城市。我们还有与每条道路 i 相关联的成本 x(i) 和与每条高速公路 i 相关联的成本 y(i)。我们要修路连接城市，条件是任何一对城市之间总有一条路，我们最多能建一条高速公路，可能比一条路便宜。

Set E 和 Set H 是不同的，它们各自的成本是不相关的。

设计一种算法来建造道路（最多有一条高速公路），以最大限度地降低总成本。

【问题讨论】：

请考虑在您的问题中添加编程语言标签
您有这些道路和高速公路的 x 和 y 坐标，对吗？而你只能使用一种高速公路？
道路和高速公路的最大数量是多少？
@fantaghirocco 这个问题没有说任何特定的语言。您可以使用任何您喜欢的语言。
你试过什么？你到底有什么问题（除了你的作业可能明天到期......）？

标签： algorithm minimum-spanning-tree

【解决方案1】：

所以，我们拥有的是一个完全连接的边图。

解决步骤：

仅找出道路的最小生成树并将其视为最低成本。
将一条高速公路添加到道路图中，然后再次计算最小生成成本树。
将第 2 步的成本与更换它的最低成本进行比较，如果它更小的话。
移除那条高速路。
返回第 2 步，然后为每条高速公路再次执行这些步骤。

O(nm) = m*mst_cost(n)

【讨论】：

【解决方案2】：

使用 Prim 或 Kruskal 构建 MST：O(E log V)。

问题是最多1条高速公路的约束。

1。解决这个问题的简单方法：

对于每条可能的高速公路，从头开始构建 MST。

此解决方案的时间复杂度：O(H E log V)

2。替代

想法：如果您构建一个 MST，如果您有一个以前没有考虑过的额外可用边缘，您可以使用更好的 MST 来细化 MST。

假设新边连接(u,v)。如果你使用这条边，你可以移除MST中顶点u和v之间路径中最昂贵的边。你可以在O(V)时间天真地找到路径。

使用这个想法，时间复杂度是构建初始 MST O(E log V) 的成本，以及尝试使用每条 H 高速公路细化 MST 的时间。因此总算法复杂度为O(E log V + H V)，比第一种解决方案要好。

3。优化细化

我们可以找到一种更快的方法来完成第二种方法，而不是使用第二种方法进行简单的路径搜索。一个相关的问题是 LCA（最低共同祖先）。解决 LCA 的一个好方法是使用跳转指针。首先你根 hte 树，然后每个顶点将有指向根的跳转指针（1 步、2 步、4 步等）预处理可能花费O(V log V) 时间，找到 2 个顶点的 LCA 是O(log V) 最差大小写（虽然它实际上是O(log (depth of tree)) 通常更好）。

找到 LCA 后，它会隐含地为您提供顶点 u 和 v 之间的路径。但是，找到要删除的最昂贵的边可能会很昂贵，因为遍历路径的成本很高。

在一维问题中，可以使用范围最大查询（RMQ）。这使用段树在O(log N) 时间内解决 RMQ。

我们有一个树，而不是一维空间（如数组）。但是，我们可以应用相同的想法，并构建一个段树状结构。实际上，这相当于为每个跳转指针绑定了一条额外的信息。为了找到 LCA，树中的每个顶点都有log(tree depth) 指向根的跳转指针。我们可以用跳转指针捆绑我们跳过的边的最大边权重。添加此信息的成本与最初创建跳转指针的成本相同。因此，对 LCA 算法稍加改进后，我们就可以在O(log (depth)) 时间内找到顶点u 和v 之间路径上的最大边权重。

最后，综合起来，第 3 个解决方案的算法复杂度为 O(E log V + H log V) 或等效的 O((E+H) log V)。

【讨论】：