第二最小成本生成树

Question

我正在编写一个算法来查找第二个最小成本生成树。我的想法如下：

1. 使用 kruskals 找到最低的 MST。
2. 删除 MST 的最低成本边。
3. 在整个图表上再次运行 kruskals。
4. 返回新的 MST。

我的问题是：这行得通吗？有没有更好的方法来做到这一点？

Answer 1

你可以在 O(V²) 中完成。首先使用 Prim's algorithm 计算 MST（可以在 O(V²) 中完成）。

计算max[u, v] = the cost of the maximum cost edge on the (unique) path from u to v in the MST。可以在 O(V²) 内完成。

找到一个边 (u, v)，它不是最小化 abs(max[u, v] - weight(u, v)) 的 MST 的一部分。可以在 O(E) == O(V²) 中完成。

返回MST' = MST - {the edge that has max[u, v] weight} + {(u, v)}，这将为您提供第二好的MST。

Here's a link 到伪代码和更详细的解释。

Answer 2

考虑这种情况：

------100----
|           |
A--1--B--3--C
      |     |
      |     3
      |     |
      2-----D

MST 由 A-B-D-C 组成（成本 6）。第二个最小成本是 A-B-C-D（成本 7）。如果您删除成本最低的边，您将获得 A-C-B-D（成本 105）。

所以你的想法行不通。不过我没有更好的主意...

Answer 3

您可以这样做 - 尝试从图中一次移除一条 MST 的边，然后运行 ​​MST，从中获取最小值。所以这和你的类似，除了迭代：

1. 使用 Kruskals 查找 MST。
2. 对于 MST 中的每条边：
   1. 从图中删除边
   2. 在 MST 上计算 MST'
   3. 跟踪最小的 MST
   4. 将边添加回图形
3. 返回最小的 MST。

Answer 4

这类似于拉里的回答。

找到MST后，

对于每个 new_edge =不是 MST 中的一条边

1. 将 new_edge 添加到 MST。
2. 找出形成的循环。
3. 找到权重最大的边 不是非 MST 边的循环 您添加了。
4. 将重量增加记录为 W_Inc = w(new_edge) - w(max_weight_edge_in_cycle)。
5. 如果 W_Inc
6. Min_W_Inc_Seen_So_Far = W_Inc
7. edge_to_add = new_edge
8. edge_to_remove = max_weight_edge_in_cycle

来自以下链接的解决方案。
http://web.mit.edu/6.263/www/quiz1-f05-sol.pdf

Answer 5

稍微修改您的算法。

    Use kruskals to find lowest MST.
    for all edges i of MST
        Delete edge i of the MST.
        Run kruskals again on the entire graph.
        loss=cost new edge introduced - cost of edge i
    return MST for which loss is minimum

Answer 6

这是一个计算 O(n^2) 中的第二个最小生成树的算法

1. 首先找出最小生成树 (T)。不使用堆需要 O(n^2)。
2. 对 T 中的每个边 e 重复。=O(n^2)

3. 假设当前树的边缘是 e。这个树边缘会将树分成两棵树，比如说 T1 和 T-T1。 e=(u,v) 其中 u 在 T1 中，v 在 T-T1 中。 =O(n^2)

   对 T-T1 中的每个顶点 v 重复。 =O(n^2)

   为T-T1中的所有v选择边e'=(u,v)，并且e'在G（原始图）中并且它是最小的

4. 计算新形成的树的权重。比如说W=weight(T)-weight(e)+weight(e')

5. 选择具有最小重量的T1

Answer 7

您的方法将不起作用，因为它可能是最小的情况。 MST 中的权重边是一座桥（只有一条边连接图的 2 个部分），因此从集合中删除这条边将产生 2 个新的 MST，而不是一个 MST。

Answer 8

_{基于@IVlad 的回答}

O(V² log V)算法详解

• 使用 Kruskal（或 Prim）算法找到最小生成树 (MST)，保存其总权重，并为 MST 中的每个节点存储其树邻居（即父节点和所有子节点）-> O(V² log V)
• 计算最小生成树中任意两个顶点之间的最大边权重。从 MST 中的每个顶点开始，使用之前计算的树节点邻居列表，使用深度或广度优先搜索遍历整个树，并存储迄今为止在每个新访问的顶点处遇到的最大边权重。 -> O(V²)
• 求第二个最小生成树及其总权重。对于每条不属于原始 MST 的边，尝试断开它连接的两个顶点，方法是移除两个顶点之间权重最大的树边，然后将它们与当前考虑的顶点重新连接（注意：MST 应恢复为每次迭代后的原始状态）。总权重可以通过减去删除边的权重并加上添加边的权重来计算。存储获得的总权重中的最小值。

要练习，您可以尝试竞争性编程问题UVa 10600 - ACM Contest and Blackout，该问题涉及在加权图中找到第二个最小生成树，正如 OP 所要求的那样。我的实现（在现代 C++ 中）可以在 here 找到。

Answer 9

MST 是图的所有边的总权重最小的树。因此，第二个最小 mst 将具有图中所有边的第二个最小总权重。

let T -> BEST_MST（对图中的边进行排序，然后使用kruskal算法找到MST）

T ' -> 第二好的 MST

假设 T 有 7 条边，现在要找到 T ' 我们将一一删除这 7 条边中的一条并找到该边的替代品（该边的成本肯定会大于我们刚刚从 T 中删除的边)。

假设原始图有 15 条边

我们最好的 MST ( T ) 有 7 条边

第二好的 MST ( T ' ) 也将只有 7 条边

如何找到T'

在 T 中有 7 条边，现在对于所有这 7 条边，将它们一一移除并找到这些边的替换。

假设 MST ( T ) 中的边 --> { a,b,c,d,e,f,g }

假设我们的答案将是 2nd_BEST_MST，并且最初它具有无限值（我知道这听起来不太好，让我们暂时假设它）。

对于 BEST_MST 中的所有边：

current_edge = 我 找到那个边缘的替代品，那个边缘的替代品肯定会比第 i 个边缘（7 个边缘之一）的重量更大 我们将如何使用 Kruskul 算法找到该边的替换（我们再次找到 MST，因此我们将仅使用 kruskal 算法，但这我们不必再次对边进行排序，因为我们在找到 BEST_MST (T)。 将生成 NEW_MST 2nd_best_MST = min( NEW_MST , 2nd_best_MST ) 返回 2nd_best_MST 算法

假设原始图有 10 条边 找到 BEST_MST（使用 kruskal 算法）并假设 BEST_MST 只有 6 条边 弓还有 4 个边缘不在 BEST_MST 中（因为它们的权重值很大，其中一个边缘将为我们提供 2nd_Best_MST 对于 BEST_MST 中不存在的每个边缘“X”（即左侧 4 个边缘），将该边缘添加到 BEST_MST 中，这将创建循环 找到循环中权重最大的边 'K' （除了 new_added_edge 'X' ） 临时删除边“K”，这将形成一个新的生成树 计算权重差异并将 weight_difference 与边缘 'X' 映射。 对所有这 4 条边重复第 4 步，并将权重差异最小的生成树返回到 BEST_MST。