我们可以使用 n(V) <= n(E) 来检测循环，同时将 Kruskal 的 MST 用于无向图吗？答案

【问题标题】：Can we use n(V) <= n(E) to detect cycle while using Kruskal's MST for an undirected graph?我们可以使用 n(V) <= n(E) 来检测循环，同时将 Kruskal 的 MST 用于无向图吗？
【发布时间】：2020-10-07 14:51:40
【问题描述】：

根据GeeksForGeeks，在无向图中求最小生成树的步骤是：

按权重的非递减顺序对所有边进行排序。
选择最小的边。检查它是否与到目前为止形成的生成树形成一个循环。如果没有形成循环，则包括该边。否则，丢弃它。
重复第 2 步，直到生成树中有 (V-1) 条边。

这里，对于第 2 步，使用了 Union Find 算法。

如果我们检查以下条件，而不是这种方法：

（图中已包含的顶点数）

我的方法有什么问题吗？虽然时间复杂度保持不变，因为我们仍在对边进行排序，但这种方法可以减少执行步骤 #2 所花费的时间和代码复杂度。

【问题讨论】：

标签： algorithm graph graph-algorithm kruskals-algorithm undirected-graph

【解决方案1】：

不，你不能使用这个，因为你可以在图中遇到一个循环，其中 n(V) > n(E)。

例如，图由 4 个顶点组成，共有 3 条边，1-2、2-3 和 1-3。有一个循环，但 n(V)

基本上，如果 n(V)

【讨论】：

这种情况在处理 Kruskal 算法时绝不会出现。只有当它有边时，顶点才会被添加到集合中。这正是我认为我的假设成立的原因
好的，然后假设您有一个包含很多顶点的图，并且您连接 1-2，然后是 3-4，然后是 5-6。接下来，连接 1-3。现在，您在集合中有 6 个顶点（如果我正确理解您的方法）并且只有 4 个边。因此，您可以建立一个连接 2-4，这会创建一个循环，但您不会检测到它。也许你的意思是别的，但在这种情况下，如果你用多个边连接两个以前未连接的组件会发生什么？总的来说，您能否详细说明“已包含在图表中”的确切含义？
没有考虑这种情况谢谢！

【解决方案2】：

正如@Maurycat 所说，当图中有两个组件并且其中一个组件具有循环时，这将不成立。

【讨论】：