如何找到平行六面体的 4d 类似物的超体积？

Question

首先，该类比存在吗？

其次，如何在给定 4 个边向量的情况下找到它的 4d-volume/hyper-volume，理想情况下使用点、叉积等。

第三，表面积的 3D 模拟是什么？例如。 1D-弧长、2D-表面积、3D-体积、4D-?

Answer 1

您所描述的内容是使用行列式概括的。

nD 对象嵌入到 nD 空间中

对于使用所有维度的对象，例如 2D 平行四边形或 3D 平行六面体，将定义（超）平行六面体边的 n 向量作为矩阵行并计算行列式：

2D       3D          4D             5D
|x1 y1|  |x1 y1 z1|  |x1 y1 z1 w1|  (Repeat the same pattern)
|x1 y2|  |x2 y2 z2|  |x2 y2 z2 w2|
         |x3 y3 z3|  |x3 y3 z3 w3|
                     |x4 y4 z4 w4|

请注意，获得的（超）体积是有符号的，具体取决于向量的方向。因此，可能会有负数。

(n-1)D 对象嵌入到 nD 空间中

对于使用比其所在空间小一维的对象，例如 3D 空间中的平行四边形，您可以使用叉积（源自行列式）或叉积的推广。例如，由两个 3D 向量 (x1,y1,z1) 和 (x2,y2,z2) 定义的嵌入 3D 的平行四边形的面积是从包含这两个向量作为行的矩阵计算得出的：

[x1 y1 z1]
[x2 y2 z2]

从这个矩阵中，简单地创建 2x2 子矩阵的所有组合，计算每个矩阵的行列式，并将它们放入一个向量中

[|y1 z1|, |z1 x1|, |x1 y1|] = (y1*z2-z1*y1, z1*x2-x1*z2, x1*y2-y1*x2)
[|y2 z2|  |z2 x2|  |x2 y2|]

你得到一个向量，这个向量的长度就是平行四边形的面积：sqrt((y1*z2-z1*y1)^2 + (z1*x2-x1*z2)^2 + (x1*y2-y1*x2)^2)。

（几乎）终极概括

从最后一个示例中，我们可以创建一个适用于嵌入任何维度的任何对象的通用配方（是的，您可以计算嵌入 17D 空间中的 3D 平行六面体的体积）：

1. 将描述对象的所有向量作为（可能是非正方形）矩阵的行。
2. 枚举所有可能的平方子矩阵组合。
3. 计算所有这些子矩阵的行列式并将它们放在一个列表中（如果您想要的只是数量，那么顺序并不重要）。
4. 分别对这些行列式进行平方。
5. 把它们加起来。
6. 取结果的平方根。

请注意，最后一个配方给出了无符号体积，因为你先平方然后取平方根。

最后说明：显然，这个答案更像是一个秘诀，而不是解释为什么所有这些计算都有效。有关此主题的更多信息，我建议您查看Exterior Algebra，这是一种使用楔积（叉积的概括）来定义这些超卷的形式很一般的方法。